Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de segunda ordem, utilizando o método dos coeficientes a determinar:
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+13 y=\sin (3 t)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' - 4y' + 13y = \sin(3t).
Informações dadas:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (forçamento) é \sin(3t).
  • A tarefa é encontrar a solução geral y(t), ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea.

Passo 2

Primeiro achamos a solução da equação homogênea associada:
y'' - 4y' + 13y = 0.
Para isso usamos o polinômio característico, que se obtém substituindo y=e^{rt}. O polinômio característico é
r^2 - 4r + 13 = 0.
Agora resolvemos essa equação quadrática para r.

Passo 3

Calculando as raízes de r^2 - 4r + 13 = 0 usamos a fórmula quadrática:
r = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4\cdot1\cdot13}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 52}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-36}}{2}.
Como \sqrt{-36}=6i, obtemos
r = \frac{4 \pm 6i}{2} = 2 \pm 3i.

Passo 4

Quando as raízes do polinômio característico são complexas r = \alpha \pm i\beta, a solução geral da homogênea tem a forma
y_h(t) = e^{\alpha t}\big(C_1\cos(\beta t) + C_2\sin(\beta t)\big),
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias. Aqui \alpha = 2 e \beta = 3. Portanto
y_h(t) = e^{2t}\big(C_1\cos(3t) + C_2\sin(3t)\big).

Passo 5

Agora procuramos uma solução particular y_p(t) da equação completa
y'' - 4y' + 13y = \sin(3t).
Usamos o método dos coeficientes a determinar: como o lado direito é uma combinação de \cos(3t) e \sin(3t), tentamos um ansatz da forma
y_p(t) = a\cos(3t) + b\sin(3t),
onde a e b são coeficientes constantes a determinar.
Observação importante sobre ressonância: se e^{\alpha t}\cos(\beta t) ou e^{\alpha t}\sin(\beta t) com alguma \alpha estivesse entre as soluções da homogênea, seria necessário multiplicar o ansatz por t (ou por potência de t) para eliminar ressonância. Aqui o lado direito é \sin(3t), ou seja, tem frequência 3 mas multiplicada por e^{0\cdot t}. As soluções homogêneas têm e^{2t}\cos(3t) e e^{2t}\sin(3t) (facto e^{2t}), então não há ressonância — não precisamos multiplicar por t. Por isso o ansatz acima é apropriado.

Passo 6

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p(t) = a\cos(3t) + b\sin(3t),
y_p'(t) = -3a\sin(3t) + 3b\cos(3t),
y_p''(t) = -9a\cos(3t) -9b\sin(3t).
Substituímos y_p, y_p' e y_p'' na equação diferencial esquerda L[y]=y''-4y'+13y e coletamos coeficientes de \cos(3t) e \sin(3t).

Passo 7

Substituição e coletação:
L[y_p] = (-9a\cos(3t) -9b\sin(3t)) -4(-3a\sin(3t)+3b\cos(3t)) +13(a\cos(3t)+b\sin(3t)).
Agora agrupamos termos de \cos(3t) e \sin(3t).
Coeficiente de \cos(3t):
-9a \;-\;4\cdot(3b) \;+\;13a = (-9a -12b +13a) = 4a -12b.
Coeficiente de \sin(3t):
-9b \;-\;4\cdot(-3a) \;+\;13b = (-9b +12a +13b) = 12a +4b.
Portanto
L[y_p] = (4a -12b)\cos(3t) + (12a +4b)\sin(3t).
Queremos L[y_p] = \sin(3t), isto é, coeficiente de \cos(3t) deve ser 0 e coeficiente de \sin(3t) deve ser 1. Assim obtemos o sistema linear para a,b:
\begin{cases} 4a - 12b = 0,\\[4pt] 12a + 4b = 1. \end{cases}]

Passo 8

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação vem \;4a = 12b\Rightarrow a = 3b.
Substituindo na segunda:
12(3b) + 4b = 1 \quad\Rightarrow\quad 36b + 4b = 40b = 1.
Logo
b = \frac{1}{40},\qquad a = 3b = \frac{3}{40}.
Portanto a solução particular é
y_p(t) = \frac{3}{40}\cos(3t) + \frac{1}{40}\sin(3t).

Passo 9

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
y(t) = y_h(t) + y_p(t) = e^{2t}\big(C_1\cos(3t) + C_2\sin(3t)\big) + \frac{3}{40}\cos(3t) + \frac{1}{40}\sin(3t),
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (determindas por condições iniciais, se houver).

Resposta

y(t)=e^{2t}\big(C_1\cos(3t)+C_2\sin(3t)\big)+\frac{3}{40}\cos(3t)+\frac{1}{40}\sin(3t)

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