Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de segunda ordem, utilizando o método dos coeficientes a determinar:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Informações dadas:
- É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (forçamento) é
. - A tarefa é encontrar a solução geral
, ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea.
Passo 2
Primeiro achamos a solução da equação homogênea associada:
Para isso usamos o polinômio característico, que se obtém substituindo
. O polinômio característico é
Agora resolvemos essa equação quadrática para
.
Passo 3
Calculando as raízes de
usamos a fórmula quadrática:
Como
, obtemos
Passo 4
Quando as raízes do polinômio característico são complexas
, a solução geral da homogênea tem a forma
onde
são constantes arbitrárias. Aqui
e
. Portanto
Passo 5
Agora procuramos uma solução particular
da equação completa
Usamos o método dos coeficientes a determinar: como o lado direito é uma combinação de
e
, tentamos um ansatz da forma
onde
e
são coeficientes constantes a determinar.
Observação importante sobre ressonância: se
ou
com alguma
estivesse entre as soluções da homogênea, seria necessário multiplicar o ansatz por
(ou por potência de
) para eliminar ressonância. Aqui o lado direito é
, ou seja, tem frequência
mas multiplicada por
. As soluções homogêneas têm
e
(facto
), então não há ressonância — não precisamos multiplicar por
. Por isso o ansatz acima é apropriado.
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos
,
e
na equação diferencial esquerda
e coletamos coeficientes de
e
.
Passo 7
Substituição e coletação:
Agora agrupamos termos de
e
.
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Portanto
Queremos
, isto é, coeficiente de
deve ser
e coeficiente de
deve ser
. Assim obtemos o sistema linear para
:
Passo 8
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação vem .
Substituindo na segunda:
Da primeira equação vem
Substituindo na segunda:
Logo
Portanto a solução particular é
Passo 9
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias (determindas por condições iniciais, se houver).