Transformar a equação 9 x^2-24 x y+16 y^2-40 x-30 y=0 numa outra sem termos mistos x^prime y^prime( Rpta: y^prime 2-2 x^prime=0).

Passo 1

O enunciado pede para eliminar o termo misto xy da equação
9x^2-24xy+16y^2-40x-30y=0
ou seja, devemos fazer uma rotação de eixos (x,y)to(x',y'). O conteúdo aqui é classificação de cônicas (é uma parábola, pois B^2-4AC=0) e rotação de eixos para anular o termo misto.

Passo 2

Identificamos os coeficientes da forma geral
Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0
aqui
A=9, B=-24, C=16, D=-40, E=-30, F=0

Passo 3

O ângulo de rotação phi satisfaz
tan(2phi)=BA-C=-249-16=-24-7=247

Passo 4

Das fórmulas de ângulo duplo obtemos
cos(2phi)=725, sin(2phi)=2425
Logo
cosphi=raiz1+cos2phi2=45, sinphi=raiz1-cos2phi2=35,
escolhendo o sinal positivo (pois phi está em (0,tfracpi2)).

Passo 5

Sob a rotação
x = x'cosphi - y'sinphi, y = x'sinphi + y'cosphi,
os novos coeficientes de x'^2, x'y', y'^2 são
A'=tfracA+C2+tfracA-C2cos2phi+tfracB2sin2phi=0,
C'=tfracA+C2-tfracA-C2cos2phi-tfracB2sin2phi=25,
e o misto x'y' some porque A'=0.

Passo 6

Os termos lineares em x' e y' passam a ser
D' = Dcosphi + Esinphi = -40cdot45 - 30cdot35 = -50,
E' = -Dsinphi + Ecosphi = 40cdot35 - 30cdot45 = 0

Passo 7

A equação em (x',y') fica
A'x'^2 + C'y'^2 + D'x' + E'y' = 0 Longrightarrow 25,y'^2 -50,x' = 0
Dividindo por 25 obtemos a forma final sem termos mistos nem lineares em y':
y'^2 - 2,x' = 0

Resposta

y'^2 - 2x' = 0

Exercícios relacionados