Determinar a equação da parábola que passa pelos pontos (0,1), (1,0) e (3,0) e tem concavidade voltada para cima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma parábola que passa pelos pontos (0,1), (1,0) e (3,0) e que está “virada pra cima”. Para isso, vamos usar a fórmula geral da parábola e resolver um sistema de equações. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, sabemos que a equação geral de uma parábola com concavidade para cima é:
y = ax^2 + bx + c
Aqui, $ a $, $ b $ e $ c $ são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Como a parábola passa pelos pontos (0,1), (1,0) e (3,0), podemos substituir esses valores na equação para formar um sistema de equações.
Para o ponto (0,1):
1 = a(0)^2 + b(0) + c Rightarrow c = 1

Passo 4

Agora, para o ponto (1,0):
0 = a(1)^2 + b(1) + 1 Rightarrow a + b + 1 = 0 Rightarrow a + b = -1 (1)

Passo 5

E para o ponto (3,0):
0 = a(3)^2 + b(3) + 1 Rightarrow 9a + 3b + 1 = 0 Rightarrow 9a + 3b = -1 (2)

Passo 6

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
  1. $ a + b = -1 $
  2. $ 9a + 3b = -1 $
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a primeira equação por 3:
$ 3a + 3b = -3 $
Agora, subtraímos essa nova equação da segunda equação:
$ (9a + 3b) - (3a + 3b) = -1 - (-3) $
Simplificando:
$ 6a = 2 \Rightarrow a = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $

Passo 7

Agora que temos $ a = \frac{1}{3} $, substituímos na equação $ a + b = -1 $:
$ \frac{1}{3} + b = -1 \Rightarrow b = -1 - \frac{1}{3} = -\frac{4}{3} $

Passo 8

Então, os valores que encontramos são:
  • $ a = \frac{1}{3} $
  • $ b = -\frac{4}{3} $
  • $ c = 1 $

Resposta

A equação da parábola é:
y = 13x^2 - 43x + 1

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