Determinar a equação da parábola que passa pelos pontos (0,1), (1,0) e (3,0) e tem concavidade voltada para cima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma parábola que passa pelos pontos (0,1), (1,0) e (3,0) e que está “virada pra cima”. Para isso, vamos usar a fórmula geral da parábola e resolver um sistema de equações. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, sabemos que a equação geral de uma parábola com concavidade para cima é:
Aqui, $ a $, $ b $ e $ c $ são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Como a parábola passa pelos pontos (0,1), (1,0) e (3,0), podemos substituir esses valores na equação para formar um sistema de equações.
Para o ponto (0,1):
Passo 4
Agora, para o ponto (1,0):
Passo 5
E para o ponto (3,0):
Passo 6
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
-
$ a + b = -1 $
-
$ 9a + 3b = -1 $
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a primeira equação por 3:
$ 3a + 3b = -3 $
Agora, subtraímos essa nova equação da segunda equação:
$ (9a + 3b) - (3a + 3b) = -1 - (-3) $
Simplificando:
$ 6a = 2 \Rightarrow a = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $
Passo 7
Agora que temos $ a = \frac{1}{3} $, substituímos na equação $ a + b = -1 $:
$ \frac{1}{3} + b = -1 \Rightarrow b = -1 - \frac{1}{3} = -\frac{4}{3} $
Passo 8
Então, os valores que encontramos são:
- $ a = \frac{1}{3} $
- $ b = -\frac{4}{3} $
- $ c = 1 $
Resposta
A equação da parábola é: