Calcule os comprimentos das medianas de um triângulos cujos vertices são os pontos A (0,0) , B(4, -6) e C(-2,-4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular os comprimentos das medianas de um triângulo cujos vértices são os pontos A (0,0), B (4, -6) e C (-2,-4). A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os pontos médios dos lados do triângulo e, em seguida, calcular a distância entre cada vértice e esses pontos médios.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos médios de cada lado do triângulo. O ponto médio de um segmento de reta com extremidades em (x1, y1) e (x2, y2) é dado pelas coordenadas:
( x1 + x22, y1 + y22 )
Vamos calcular os pontos médios dos lados AB, BC e AC.

Passo 3

Vamos calcular o ponto médio de AB.
Pontos A(0,0) e B(4,-6):
MAB = ( 0 + 42, 0 + (-6)2 ) = (2, -3)

Passo 4

Agora, o ponto médio de BC.
Pontos B(4,-6) e C(-2,-4):
MBC = ( 4 + (-2)2, -6 + (-4)2 ) = (1, -5)

Passo 5

E o ponto médio de AC.
Pontos A(0,0) e C(-2,-4):
MAC = ( 0 + (-2)2, 0 + (-4)2 ) = (-1, -2)

Passo 6

Agora que temos os pontos médios, vamos calcular o comprimento de cada mediana. A mediana é o segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. Para calcular a distância entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2), usamos a fórmula da distância:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2

Passo 7

Vamos calcular a mediana de A até M_{BC}.
Ponto A(0,0) e M_{BC}(1,-5):
d = raiz(1 - 0)^2 + (-5 - 0)^2 = raiz1 + 25 = raiz26 approx 5,10

Passo 8

Agora, a mediana de B até M_{AC}.
Ponto B(4,-6) e M_{AC}(-1,-2):
d = raiz(-1 - 4)^2 + (-2 - (-6))^2 = raiz(-5)^2 + (4)^2 = raiz25 + 16 = raiz41 approx 6,40

Passo 9

Por fim, a mediana de C até M_{AB}.
Ponto C(-2,-4) e M_{AB}(2,-3):
d = raiz(2 - (-2))^2 + (-3 - (-4))^2 = raiz(4)^2 + (1)^2 = raiz16 + 1 = raiz17 approx 4,12

Resposta

As medianas do triângulo têm os seguintes comprimentos:
  • Mediana de A: aproximadamente 5,10 unidades
  • Mediana de B: aproximadamente 6,40 unidades
  • Mediana de C: aproximadamente 4,12 unidades

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