Calcule os comprimentos das medianas de um triângulos cujos vertices são os pontos A (0,0) , B(4, -6) e C(-2,-4).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular os comprimentos das medianas de um triângulo cujos vértices são os pontos A (0,0), B (4, -6) e C (-2,-4). A matéria envolvida aqui é Geometria Analítica. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os pontos médios dos lados do triângulo e, em seguida, calcular a distância entre cada vértice e esses pontos médios.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos médios de cada lado do triângulo. O ponto médio de um segmento de reta com extremidades em
e
é dado pelas coordenadas:
Vamos calcular os pontos médios dos lados AB, BC e AC.
Passo 3
Vamos calcular o ponto médio de AB.
Pontos A(0,0) e B(4,-6):
Passo 4
Agora, o ponto médio de BC.
Pontos B(4,-6) e C(-2,-4):
Passo 5
E o ponto médio de AC.
Pontos A(0,0) e C(-2,-4):
Passo 6
Agora que temos os pontos médios, vamos calcular o comprimento de cada mediana. A mediana é o segmento que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto. Para calcular a distância entre dois pontos
e
, usamos a fórmula da distância:
Passo 7
Vamos calcular a mediana de A até M_{BC}.
Ponto A(0,0) e M_{BC}(1,-5):
Passo 8
Agora, a mediana de B até M_{AC}.
Ponto B(4,-6) e M_{AC}(-1,-2):
Passo 9
Por fim, a mediana de C até M_{AB}.
Ponto C(-2,-4) e M_{AB}(2,-3):
Resposta
As medianas do triângulo têm os seguintes comprimentos:
- Mediana de A: aproximadamente 5,10 unidades
- Mediana de B: aproximadamente 6,40 unidades
- Mediana de C: aproximadamente 4,12 unidades