Determinar a equação do plano que passa pelo ponto M(1,2,-3) e que é paralelo às seguintes retas:
r: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z-7}{3} \quad \text { e } \quad s: \frac{x+5}{3}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+3}{-1}
Resolução de 31: As equações das retas r e s estão na forma simétrica. Logo, \vec{v}_{1}=(2,-3,3) e \vec{v}_{2}=(3,-2,-1) são vetores diretores de r e s , respectivamente.
Seja \mathrm{N}=(x, y, z) um ponto qualquer do plano \pi procurado. Como \mathrm{M} \in \pi, o vetor \overrightarrow{\mathrm{MN}} é paralelo ao plano \pi, sendo
Como o plano \pi deverá ser paralelo aos vetores \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}, chegamos à conclusão de que \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2} e \overrightarrow{\mathrm{MN}} devem ser vetores coplanares. Logo, o produto misto entre esses vetores deve ser nulo, ou seja,