Determine o ângulo entre os planos π_{1} e π_{2} :
π_{1}: x+y+1=0 \quad e \quad π_{2}: X=(-1,0,0)+λ(1,-1,0)+μ(-3,0,0), λ, μ ∈ ℝ.

Passo 1

O enunciado pede o ângulo entre os planos \pi_{1}:x+y+1=0
e \pi_{2}:\mathbf{X}=(-1,0,0)+\lambda(1,-1,0)+\mu(-3,0,0).
Conteúdo: geometria analítica espacial. Vamos usar que o ângulo \theta entre dois planos é dado pelo ângulo entre seus vetores normais.

Passo 2

Para \pi_{1}, a equação na forma ax+by+cz+d=0 fornece diretamente o vetor normal
\mathbf{n}_{1}=(a,b,c)=(1,1,0).

Passo 3

Para \pi_{2}, os vetores diretores são \mathbf{u}=(1,-1,0) e \mathbf{v}=(-3,0,0). O vetor normal é
\mathbf{n}_{2}=\mathbf{u}\times\mathbf{v} =\bigl(1,-1,0\bigr)\times\bigl(-3,0,0\bigr).
Calculando o produto vetorial:
\mathbf{n}_{2} =\bigl( (-1)\cdot0-0\cdot0,\;0\cdot(-3)-1\cdot0,\;1\cdot0-(-1)\cdot(-3)\bigr) =(0,0,-3).

Passo 4

O ângulo \theta entre os planos satisfaz
\cos\theta =\frac{|\mathbf{n}_{1}\cdot\mathbf{n}_{2}|} {\|\mathbf{n}_{1}\|\;\|\mathbf{n}_{2}\|}.
Aqui \mathbf{n}_{1}\cdot\mathbf{n}_{2}=1\cdot0+1\cdot0+0\cdot(-3)=0. Logo
\cos\theta=0 \quad\Longrightarrow\quad \theta=90^\circ.

Resposta

90^\circ

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