Determinar a equação do plano que passa pelo ponto M(1,2,-3) e que é paralelo às seguintes retas:
r: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z-7}{3} \quad \text { e } \quad s: \frac{x+5}{3}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+3}{-1}
Resolução de 31: As equações das retas r e s estão na forma simétrica. Logo, \vec{v}_{1}=(2,-3,3) e \vec{v}_{2}= (3,-2,-1) são vetores diretores de r e s , respectivamente.
Seja \mathrm{N}=(x, y, z) um ponto qualquer do plano \pi procurado. Como \mathrm{M} \in \pi, o vetor \overrightarrow{\mathrm{MN}} é paralelo ao plano \pi, sendo
\overrightarrow{\mathrm{MN}}=\mathrm{N}-\mathrm{M}=(x-1, y-2, z+3) .
Como o plano \pi deverá ser paralelo aos vetores \vec{v}_{1} e \vec{v}_{2}, chegamos à conclusão de que \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2} e \overrightarrow{\mathrm{MN}} devem ser vetores coplanares. Logo, o produto misto entre esses vetores deve ser nulo, ou seja,
\overrightarrow{\mathrm{MN}} \cdot \vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2}=0 \Rightarrow \operatorname{det}\left[\begin{array}{ccc} x-1 & y-2 & z+3 \\\\ 2 & -3 & 3 \\\\ 3 & -2 & -1 \end{array}\right]=9 x+11 y+5 z-16=0 .
Portanto, o plano \pi que estamos procurando terá equação geral 9 x+11 y+5 z-16=0.

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano \pi que passa por M(1,2,-3) e é paralelo às retas
r: \frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z-7}{3}, \quad s: \frac{x+5}{3}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+3}{-1}.
O conteúdo envolve geometria no espaço: vamos usar vetores diretores e produto vetorial para obter o vetor normal ao plano.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores das retas: \vec v_1=(2,-3,3) para r \vec v_2=(3,-2,-1) para s

Passo 3

Como \pi é paralelo a r e s, seu vetor normal \vec n é perpendicular a \vec v_1 e \vec v_2. Calculamos
\vec n = \vec v_1 \times \vec v_2 = \det\begin{pmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k\\\\ 2 & -3 & 3\\\\ 3 & -2 & -1 \end{pmatrix} = (9,\,11,\,5).

Passo 4

A equação do plano com normal \vec n=(9,11,5) passando por M(1,2,-3) é
9(x-1) + 11(y-2) + 5\bigl(z+3\bigr) = 0,
que expande para
9x + 11y + 5z - 16 = 0.

Resposta

A equação do plano é
9x + 11y + 5z - 16 = 0.

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