Determinar a equação reduzida, o centro, os vértices, os focos, a excentricidade e equações das assíntotas das hipérboles dadas. Esboçar o gráfico.
x^{2}-4 y^{2}+4 x+24 y-31=0

Passo 1

O enunciado pede, para a curva de equação
x^{2}-4y^{2}+4x+24y-31=0,
que a gente determine:
– a forma reduzida (equação padrão) da hipérbole;
– o centro;
– os vértices;
– os focos;
– a excentricidade;
– as assíntotas;
– e ainda um esboço do gráfico.
O conteúdo envolve completar quadrados e usar a forma canônica de hipérbole.

Passo 2

Agrupamos termos em x e em y e completamos quadrados:
x^{2}+4x\;=\;(x+2)^{2}-4, \quad -4y^{2}+24y=-4\bigl(y^{2}-6y\bigr) =-4\bigl((y-3)^{2}-9\bigr) =-4(y-3)^{2}+36.
Substituindo na equação original:
(x+2)^{2}-4\;-\;4(y-3)^{2}+36\;-\;31=0 \;\Longrightarrow\; (x+2)^{2}-4(y-3)^{2}+1=0.

Passo 3

Reescrevendo,
(x+2)^{2}-4(y-3)^{2}=-1 \;\Longrightarrow\; 4(y-3)^{2}-(x+2)^{2}=1.
Dividindo por 1 para pôr na forma
\frac{(y-3)^{2}}{a^{2}}-\frac{(x+2)^{2}}{b^{2}}=1
vemos que a^{2}=\tfrac14 e b^{2}=1. Logo
a=\tfrac12,\quad b=1, \quad\text{e o centro é }(h,k)=(-2,3).é

Passo 4

Para hipérbole vertical, os vértices ficam em
(h,\;k\pm a) \;\Longrightarrow\; (-2,\;3\pm\tfrac12),
isto é (-2,3{+}\tfrac12) e (-2,3{-}\tfrac12).

Passo 5

Calculamos c por
c^{2}=a^{2}+b^{2}=\tfrac14+1=\tfrac54, \quad c=\frac{\sqrt5}{2}.
Os focos estão em
(h,\;k\pm c) \;\Longrightarrow\; \bigl(-2,\;3\pm\tfrac{\sqrt5}{2}\bigr).

Passo 6

A excentricidade é
e=\frac{c}{a} =\frac{\tfrac{\sqrt5}{2}}{\tfrac12} =\sqrt5.

Passo 7

As assíntotas da forma
y-k=\pm\frac{a}{b}\,(x-h)
viram
y-3=\pm\tfrac12\,(x+2) \;\Longrightarrow\; y=\tfrac12x+4 \quad\text{e}\quad y=-\tfrac12x+2.

Passo 8

Para esboçar:
– marque o centro (-2,3);
– trace as duas retas-assíntotas y-3=\pm\tfrac12(x+2);
– marque os vértices (-2,3{+}\tfrac12) e (-2,3{-}\tfrac12);
– desenhe os ramos que abrem para cima e para baixo aproximando-se das assíntotas.

Resposta

Equação reduzida:
\frac{(y-3)^{2}}{\tfrac14}-\frac{(x+2)^{2}}{1}=1.
Centro: (-2,3).
Vértices: \bigl(-2,3\pm\tfrac12\bigr).
Focos: \bigl(-2,3\pm\tfrac{\sqrt5}{2}\bigr).
Excentricidade: e=\sqrt5.
Assíntotas:
y=\tfrac12x+4, \quad y=-\tfrac12x+2.
Esboço: hiperbole com centro em (-2,3), ramos verticais aproximando-se das retas-assíntotas descritas.

Exercícios relacionados