Exercício 1. Calcular a distância do ponto P à reta r, nos casos:
\quad P(0,0,0)
e \quad r:\left\{\begin{array}{l}2 x-y+z=0 \\\ x+y-2 z+1=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P(0,0,0) até a reta r que é dada pela intersecção das duas equações de plano
2x - y + z = 0,
x + y - 2z + 1 = 0.
O conteúdo aqui é geometria analítica em \mathbb{R}^3: para calcular a distância de um ponto a uma reta definida por intersecção de dois planos, vamos precisar de
  1. um ponto A qualquer sobre a reta r,
  2. o vetor direção d de r, e
  3. a fórmula
\text{dist}(P,r) =\frac{\big\|\overrightarrow{AP}\times d\big\|}{\|d\|}.

Passo 2

Para achar um ponto A\) em \(r\) resolvemos o sistema \[\begin{cases} 2x - y + z = 0,\\\ x + y - 2z = -1. \end{cases}
Da primeira equação vem y = 2x+z\]. Substituindo na segunda: \[x + (2x+z) -2z = -1 \;\Longrightarrow\; 3x - z = -1 \;\Longrightarrow\; z = 3x+1.\] Logo \(y = 2x + (3x+1) = 5x+1. Tomando x=0 para simplificar, obtemos
A = (0,\;1,\;1).

Passo 3

Os vetores normais aos dois planos são
n_1 = (2,\,-1,\,1), \quad n_2 = (1,\,1,\,-2).
O vetor direção de r é
d = n_1 \times n_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 2 & -1 & 1\\\\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} = (1,\;5,\;3).

Passo 4

O vetor de A até P é
\overrightarrow{AP} = P - A = (0,0,0) - (0,1,1) = (0,\,-1,\,-1).
Aplicando a fórmula da distância:
\overrightarrow{AP}\times d = \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 0 & -1 & -1\\\\ 1 & 5 & 3 \end{vmatrix} = (2,\,-1,\,1).
Suas normas são
\|\overrightarrow{AP}\times d\| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{6}, \quad \|d\| = \sqrt{1^2 + 5^2 + 3^2} = \sqrt{35}.

Passo 5

Substituindo em
\text{dist}(P,r) =\frac{\|\overrightarrow{AP}\times d\|}{\|d\|}
vem
\text{dist}(P,r) = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{35}} = \sqrt{\frac{6}{35}}.

Resposta

\displaystyle \sqrt{\frac{6}{35}}

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