Exercício 3. Obter uma equação da superfície gerada pela rotação de cada uma das curvas dadas em torno do eixo indicado. z=-2 y^{2}, x=0; eixo x
Passo 1
O enunciado pede a superfície obtida ao girar a curva
z=-2y^{2},\quad x=0
ao redor do eixo x. Isso é um exemplo de superfície de revolução; para resolvê-la, vamos parametrizar a curva e então aplicar a rotação ao redor do eixo x.
Passo 2
Parametrizamos a curva geratriz usando u\in\mathbb{R}:
A rotação em torno do eixo x não altera a coordenada x e faz girar (y,z) por um ângulo \theta:
\begin{cases} x = 0,\\[6pt] y = u\cos\theta \;-\;z(u)\,\sin\theta = u\cos\theta +2u^{2}\sin\theta,\\[6pt] z = u\sin\theta \;+\;z(u)\,\cos\theta = u\sin\theta -2u^{2}\cos\theta. \end{cases}]
Passo 4
Em qualquer ponto desse tubo, a distância ao eixo x vale r = \sqrt{y^{2}+z^{2}}
e deve ser igual à distância do ponto gerador (0,u,-2u^2) ao eixo x, que é \sqrt{u^{2} + (-2u^{2})^{2}} = \sqrt{u^{2} +4u^{4}}.
Logo
y^{2}+z^{2} \;=\; u^{2} +4u^{4}.
Passo 5
Para cada (y,z) existe algum u que satisfaça y^{2}+z^{2}=u^{2}+4u^{4}. Além disso x permanece sempre zero. Logo a superfície gerada é exatamente o plano x=0.