Determinar a equação reduzida e o gênero da cônica representada pela equação abaixo
Passo 1
O enunciado nos dá a cônica
que é uma equação geral do segundo grau com coeficientes
O objetivo é achar a forma reduzida (canónica) eliminando o termo em
por rotação de eixos e depois eliminar os termos lineares por translação. Em seguida, classificamos o tipo de cônica pelo discriminante
e pelo sinal do membro independente após a redução.
Passo 2
Para eliminar o termo misto
usamos uma rotação de ângulo
tal que
Definimos então as novas variáveis
Substituindo na cônica verifica-se que os termos em
desaparecem.
Passo 3
Ao substituir e somar os quadrados nota-se que
logo
O termo linear
vira
Assim a equação em
é
Multiplicando tudo por
obtém-se
Passo 4
Agora completamos quadrados em
e
.
Para :
Para
Para
:
Substituindo na equação
dá
Somando constantes:
logo
ou seja
Passo 5
Na forma reduzida vemos que a soma de quadrados de expressões reais é igual a um número negativo. Isso não admite pontos reais, pois
para todo
. O discriminante
confirma que seria uma elipse, mas o membro à direita ser negativo indica que não há pontos reais. Portanto trata-se de uma elipse imaginária (elipse vazia).
Resposta
A forma reduzida, após rotação de
e translação, é
e o gênero da cônica é elipse imaginária (nenhum ponto real).