Determinar a equação reduzida e o gênero da cônica representada pela equação abaixo
x^2+y^2+x y-x+1=0

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
x^2+y^2+xy - x +1 = 0
que é uma equação geral do segundo grau com coeficientes
A=1, B=1, C=1, D=-1, E=0, F=1
O objetivo é achar a forma reduzida (canónica) eliminando o termo em xy por rotação de eixos e depois eliminar os termos lineares por translação. Em seguida, classificamos o tipo de cônica pelo discriminante B^2-4AC e pelo sinal do membro independente após a redução.

Passo 2

Para eliminar o termo misto xy usamos uma rotação de ângulo varphi tal que
tan(2varphi)=BA-C=11-1=infty Longrightarrow 2varphi=pi2 Longrightarrow varphi=pi4
Definimos então as novas variáveis
x=X - Yraiz2, y=X + Yraiz2
Substituindo na cônica verifica-se que os termos em XY desaparecem.

Passo 3

Ao substituir e somar os quadrados nota-se que
x^2+y^2 = X^2+Y^2, xy = 12(X^2-Y^2),
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x^2+y^2+xy =l(1+tfrac12r)X^2+l(1-tfrac12r)Y^2 =tfrac32,X^2+tfrac12,Y^2
O termo linear -x vira
-x = -X-Yraiz2 =-Xraiz2+Yraiz2
Assim a equação em (X,Y) é
tfrac32,X^2+tfrac12,Y^2 -Xraiz2+Yraiz2+1=0
Multiplicando tudo por 2 obtém-se
3X^2+Y^2-raiz2,X+raiz2,Y+2=0

Passo 4

Agora completamos quadrados em X e Y.
Para X:
3X^2-raiz2,X =3l(X-tfracraiz26r)^2-tfrac16
Para Y:
Y^2+raiz2,Y =l(Y+tfracraiz22r)^2-tfrac12
Substituindo na equação 3X^2+Y^2-raiz2X+raiz2Y+2=0
3l(X-tfracraiz26r)^2 -tfrac16 +l(Y+tfracraiz22r)^2 -tfrac12 +2=0
Somando constantes:
-tfrac16-tfrac12+2=tfrac86=tfrac43,
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3l(X-tfracraiz26r)^2 +l(Y+tfracraiz22r)^2 +tfrac43=0,
ou seja
3l(X-tfracraiz26r)^2 +l(Y+tfracraiz22r)^2 =-tfrac43

Passo 5

Na forma reduzida vemos que a soma de quadrados de expressões reais é igual a um número negativo. Isso não admite pontos reais, pois 3u^2+v^2>=0 para todo u,v. O discriminante B^2-4AC=1-4= -3<0 confirma que seria uma elipse, mas o membro à direita ser negativo indica que não há pontos reais. Portanto trata-se de uma elipse imaginária (elipse vazia).

Resposta

A forma reduzida, após rotação de pi/4 e translação, é
3l(X-tfracraiz26r)^2 +l(Y+tfracraiz22r)^2 =-tfrac43,
e o gênero da cônica é elipse imaginária (nenhum ponto real).

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