Determinar a equação reduzida e o gênero da quádrica representada pela equação abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a quádricas
e pede (i) a sua forma reduzida e (ii) o gênero da superfície.
Para isso vamos usar completamento de quadrados em combinações lineares de e identificar se sobra uma variável livre (o que caracteriza um cilindro).
Para isso vamos usar completamento de quadrados em combinações lineares de
Passo 2
Agrupando os termos quadráticos e de produtos mistos em
e em
, temos
Repare que
Somando,
Passo 3
Definimos as novas variáveis lineares
Em
a equação fica
sem que apareça qualquer termo em outra variável. Isso mostra que a superfície é um cilindro (a variável complementar é livre).
Passo 4
Como só restam dois quadrados com mesmo sinal positivo e uma variável livre, a quádrica é um cilindro do tipo elíptico (seção transversal elipse – neste caso círculo na coordenada afim
, mas em sob roto-translações gerais dá elipse).
Resposta
Equação reduzida:
com
e
.
Gênero da quádrica: cilindro elíptico.
Gênero da quádrica: cilindro elíptico.