Determinar a equação reduzida e o gênero da quádrica representada pela equação abaixo.
x^2+y^2+5 z^2+2 x z+4 y z-4=0

Passo 1

O enunciado dá a quádricas
x^2+y^2+5z^2+2xz+4yz-4=0
e pede (i) a sua forma reduzida e (ii) o gênero da superfície.
Para isso vamos usar completamento de quadrados em combinações lineares de x,y,z e identificar se sobra uma variável livre (o que caracteriza um cilindro).

Passo 2

Agrupando os termos quadráticos e de produtos mistos em x,z e em y,z, temos
x^2+2xz+5z^2 ;+; y^2+4yz ;-;4 =0
Repare que
x^2+2xz+5z^2 = (x+z)^2 +4z^2, y^2+4yz = (y+2z)^2-4z^2
Somando,
(x+z)^2+4z^2 + (y+2z)^2-4z^2 -4 = 0 ;Longrightarrow; (x+z)^2 + (y+2z)^2 -4 = 0

Passo 3

Definimos as novas variáveis lineares
u = x+z, v = y+2z
Em (u,v) a equação fica
u^2+v^2-4 = 0 Long<=ftrightarrow u^2+v^2=4,
sem que apareça qualquer termo em outra variável. Isso mostra que a superfície é um cilindro (a variável complementar é livre).

Passo 4

Como só restam dois quadrados com mesmo sinal positivo e uma variável livre, a quádrica é um cilindro do tipo elíptico (seção transversal elipse – neste caso círculo na coordenada afim , mas em sob roto-translações gerais dá elipse).

Resposta

Equação reduzida:
u^2+v^2=4,
com u=x+z e v=y+2z.
Gênero da quádrica: cilindro elíptico.

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