Considere os pontos A=(-2,0,1), B=(1 / 2,1,-3) e (1,-1 / 2,2)
Determine a equação do plano que passa pelos três pontos.

Passo 1

O enunciado dá três pontos
A = (-2,0,1), B = l(tfrac12,1,-3r), C = l(1,-tfrac12,2r)
e pede a equação do plano que os contém.
Conteúdo: usaremos vetores diretores e produto vetorial para achar um vetor normal n ao plano e, em seguida, a forma
ncdotl((x,y,z)-Ar)=0

Passo 2

Construímos dois vetores diretores do plano, por exemplo
AB = B - A = l(tfrac12 - (-2),,1-0,,-3-1r) = l(tfrac52,,1,,-4r),
AC = C - A = l(1-(-2),, -tfrac12 - 0,,2-1r) = l(3,,-tfrac12,,1r)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial
n = ABtimesAC
Pela regra de Sarrus ou determinante 3times 3, tem-se
nx = 1cdot1 - (-4)cdotl(-tfrac12r) = 1 -2 = -1,
ny = -l(tfrac52cdot1 - (-4)cdot3r) = -l(tfrac52 +12r) = -tfrac292,
nz = tfrac52cdotl(-tfrac12r) - 1cdot3 = -tfrac54 -3 = -tfrac174
Multiplicando por 4 para eliminar frações, obtemos
n =(-4,,-58,,-17),
ou, para simplificar a norma,
n = (4,,58,,17)

Passo 4

Usamos a forma ponto-normal do plano com n=(4,58,17) e o ponto A=(-2,0,1):
4,(x-(-2)) + 58,(y-0) + 17,(z-1) = 0

Passo 5

Expandindo e simplificando:
4x +8 +58y +17z -17 = 0 Longrightarrow 4x +58y +17z -9 = 0

Resposta

A equação do plano é
4x + 58y + 17z = 9

Exercícios relacionados