Determine a distância entre os seguintes planos paralelos
x+2 y-2 z=3 e 2 x+4 y-4 z=7

Passo 1

O enunciado pede a distância entre os planos paralelos
x + 2y - 2z = 3
e
2x + 4y - 4z = 7
O conteúdo é geometria analítica no espaço: para planos paralelos com mesmo vetor normal n, usamos a fórmula da distância entre planos.

Passo 2

Identificamos o vetor normal de cada plano. No primeiro, n1 = (1,2,-2). No segundo, n2 = (2,4,-4). Como n2 = 2,n1, os planos são de fato paralelos e o vetor normal comum pode ser tomado como n = (1,2,-2).

Passo 3

Para aplicar a fórmula, escrevemos ambos no formato
ncdotx = d
O primeiro já é ncdotx=3. O segundo, dividindo tudo por 2, fica
x + 2y - 2z = tfrac72,
ou seja, ncdotx = tfrac72.

Passo 4

A distância entre dois planos ncdotx=d1 e ncdotx=d2 é
|d2 - d1||n|
Aqui d1 = 3, d2 = tfrac72 e
|n| = raiz1^2 + 2^2 + (-2)^2 = 3
Logo a distância é
l|tfrac72 - 3r|3 = tfrac123 = tfrac16

Resposta

A distância entre os planos é tfrac16.

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