Determinar a equação da reta tangente à:
Circunferência: (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=4, no ponto P_{0}=(2,2+\sqrt{3}).

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente à circunferência dada no ponto P_{0}. Informações fornecidas:
(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=4,
P_{0}=(2,\,2+\sqrt{3}).
Pergunta que vamos resolver: determinar a equação da reta tangente à circunferência no ponto P_{0}.

Passo 2

Identificar o centro e o raio da circunferência diretamente pela forma dada. A equação está na forma (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}, logo:
\text{centro }C=(1,2),\qquad r=2.
Antes de prosseguir, é bom checar que P_{0} realmente pertence à circunferência (isso evita surpresas na prova). Substituímos P_{0} na equação:
(2-1)^{2}+\big((2+\sqrt{3})-2\big)^{2}=1+(\sqrt{3})^{2}=1+3=4,
que é igual ao lado direito, então P_{0} está sobre a circunferência.

Passo 3

Lembrança importante (mini-aula): a reta tangente a uma circunferência em um ponto P é perpendicular ao raio que vai do centro C até P. Portanto, se conhecemos a inclinação (coeficiente angular) do raio CP, a inclinação da tangente é o negativo do recíproco dessa inclinação (a chamada relação de coeficientes angulares para retas perpendiculares): se m_{\text{raio}} é a inclinação do raio, então a inclinação da tangente é
m_{\text{tangente}}=-\frac{1}{m_{\text{raio}}}
desde que m_{\text{raio}} não seja zero; se m_{\text{raio}}=0 a tangente é vertical e se o raio é vertical a tangente é horizontal — casos que a gente trataria separadamente.

Passo 4

Calcular a inclinação do raio CP_{0}. Usamos a fórmula da inclinação entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2):
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Aqui C=(1,2) e P_{0}=(2,\,2+\sqrt{3}), então
m_{\text{raio}}=\frac{(2+\sqrt{3})-2}{2-1}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}.

Passo 5

Aplicar a relação entre inclinações para obter a inclinação da tangente:
m_{\text{tangente}}=-\frac{1}{m_{\text{raio}}}=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}.
Agora usamos a forma ponto-ângulo (ponto-inclinação) da equação da reta: para uma reta com inclinação m passando pelo ponto (x_0,y_0),
y-y_0=m(x-x_0).
Substituindo m=m_{\text{tangente}} e P_{0}=(2,\,2+\sqrt{3}), obtemos a forma ponto-ângulo da tangente:
y-(2+\sqrt{3})=-\frac{1}{\sqrt{3}}\bigl(x-2\bigr).

Passo 6

Simplificar a equação para uma forma mais bonita (opcional, mas útil na prova). Podemos eliminar o denominador multiplicando ambos os lados por \sqrt{3}:
\sqrt{3}\bigl(y-2-\sqrt{3}\bigr)=-(x-2).
Expandindo os dois lados:
\sqrt{3}y-2\sqrt{3}-3=-x+2.
Passando todos os termos para o mesmo lado:
x+\sqrt{3}y-2\sqrt{3}-5=0.
Essa é uma forma padrão da equação da reta tangente. Se preferir, podemos multiplicar por qualquer constante não nula para obter outras formas equivalentes (por exemplo, multiplicando por \sqrt{3} obtemos outra forma válida).

Resposta

x+\sqrt{3}\,y-2\sqrt{3}-5=0

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