Determinar a equação da reta tangente à:
Circunferência:
, no ponto
.
Circunferência:
Passo 1
O enunciado pede a equação da reta tangente à circunferência dada no ponto
. Informações fornecidas:
Pergunta que vamos resolver: determinar a equação da reta tangente à circunferência no ponto
.
Passo 2
Identificar o centro e o raio da circunferência diretamente pela forma dada. A equação está na forma
, logo:
Antes de prosseguir, é bom checar que
realmente pertence à circunferência (isso evita surpresas na prova). Substituímos
na equação:
que é igual ao lado direito, então
está sobre a circunferência.
Passo 3
Lembrança importante (mini-aula): a reta tangente a uma circunferência em um ponto
é perpendicular ao raio que vai do centro
até
. Portanto, se conhecemos a inclinação (coeficiente angular) do raio
, a inclinação da tangente é o negativo do recíproco dessa inclinação (a chamada relação de coeficientes angulares para retas perpendiculares): se
é a inclinação do raio, então a inclinação da tangente é
desde que
não seja zero; se
a tangente é vertical e se o raio é vertical a tangente é horizontal — casos que a gente trataria separadamente.
Passo 4
Calcular a inclinação do raio
. Usamos a fórmula da inclinação entre dois pontos
e
:
Aqui
e
, então
Passo 5
Aplicar a relação entre inclinações para obter a inclinação da tangente:
Agora usamos a forma ponto-ângulo (ponto-inclinação) da equação da reta: para uma reta com inclinação
passando pelo ponto
,
Substituindo
e
, obtemos a forma ponto-ângulo da tangente:
Passo 6
Simplificar a equação para uma forma mais bonita (opcional, mas útil na prova). Podemos eliminar o denominador multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo os dois lados:
Passando todos os termos para o mesmo lado:
Essa é uma forma padrão da equação da reta tangente. Se preferir, podemos multiplicar por qualquer constante não nula para obter outras formas equivalentes (por exemplo, multiplicando por
obtemos outra forma válida).