Determinar a equação da reta tangente à:
Hipérbole: \frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{9}=1, no ponto P_{0}=(5,-6).

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que a questão pede):
\text{Hipérbole: }\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{9}=1é
Ponto dado: \,P_{0}=(5,-6).
Pergunta: Determinar a equação da reta tangente à hipérbole no ponto \,P_{0}.
Informações relevantes listadas: o ponto \,P_{0} e a equação implícita da curva. A tarefa é achar a reta que toca a curva em \,P_{0} com a mesma inclinação da curva naquele ponto.

Passo 2

Verificar rapidamente que o ponto dado está realmente sobre a hipérbole (sempre bom checar antes de continuar).
Substituindo \,x=5 e \,y=-6 na equação da hipérbole:
\frac{5^{2}}{5}-\frac{(-6)^{2}}{9}=\frac{25}{5}-\frac{36}{9}=5-4=1.
Como obtemos \,1, o ponto \,P_{0}=(5,-6) pertence à hipérbole. Tudo certo para continuar.

Passo 3

Explicar a ideia de diferenciação implícita (a ferramenta que vamos usar): quando temos uma curva dada por uma equação que relaciona x e y implicitamente, por exemplo \,F(x,y)=0, para encontrar a derivada \,\dfrac{dy}{dx} diferenciamos ambos os lados da igualdade em relação a x. Ao derivar termos que contêm y, usamos a regra da cadeia: derivada de y em relação a x é \,\dfrac{dy}{dx}. Aqui aplicamos essa ideia à equação
\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{9}=1.

Passo 4

Derivar ambos os lados da equação em relação a x.
Derivada do primeiro termo \,\dfrac{x^{2}}{5} usando a regra do poder: \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{x^{2}}{5}\right)=\dfrac{2x}{5}.
Derivada do segundo termo -\dfrac{y^{2}}{9} usando regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}\left(-\dfrac{y^{2}}{9}\right)=-\dfrac{2y}{9}\cdot\dfrac{dy}{dx}.
Derivada do lado direito 1 é 0.
Portanto obtemos a igualdade
\frac{2x}{5}-\frac{2y}{9}\cdot\frac{dy}{dx}=0.

Passo 5

Isolar \,\dfrac{dy}{dx} na equação obtida.
Partimos de
\frac{2x}{5}-\frac{2y}{9}\cdot\frac{dy}{dx}=0.
Passo a passo:
\frac{2y}{9}\cdot\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{5}.
Dividindo ambos os lados por \,\dfrac{2y}{9} (assumindo y\neq0; no nosso ponto y=-6 então tudo bem):
\frac{dy}{dx}=\frac{\dfrac{2x}{5}}{\dfrac{2y}{9}}=\frac{2x}{5}\cdot\frac{9}{2y}=\frac{9x}{5y}.
Portanto a derivada implícita geral é
\frac{dy}{dx}=\frac{9x}{5y}.
Explicação breve: o 9 vem do denominador do termo em y^{2}, o 5 vem do denominador do termo em x^{2}; o sinal saiu positivo pois os dois sinais negativos se cancelaram quando isolamos.

Passo 6

Calcular a inclinação (coeficiente angular) da tangente no ponto \,P_{0}=(5,-6) substituindo x=5 e y=-6 na fórmula da derivada:
m=\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(5,-6)}=\frac{9\cdot 5}{5\cdot (-6)}=\frac{45}{-30}=-\frac{3}{2}.
Então a reta tangente tem inclinação -\dfrac{3}{2}.

Passo 7

Usar a forma ponto-inclinação da reta para escrever a equação da reta tangente. A forma ponto-inclinação é
y-y_{0}=m(x-x_{0}),
onde (x_{0},y_{0}) é o ponto de tangência e m é a inclinação. Substituindo (x_{0},y_{0})=(5,-6) e m=-\dfrac{3}{2} obtemos a equação da tangente (antes de simplificar):
y-(-6)=-\frac{3}{2}\bigl(x-5\bigr).

Passo 8

Simplificar a equação encontrada para uma forma mais usual (por exemplo forma geral Ax+By+C=0). Partindo de
y+6=-\frac{3}{2}(x-5)
multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar frações:
2y+12=-3(x-5).
Expandindo o lado direito:
2y+12=-3x+15.
Passando todos os termos para o mesmo lado:
3x+2y-3=0.
Esta é a forma geral simplificada da reta tangente.

Resposta

3x+2y-3=0

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