Determinar uma equação da reta tangente à curva, no ponto indicado.
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
e o ponto de interesse
. A tarefa é: determinar uma equação da reta tangente à curva no ponto correspondente a
.
Informações relevantes que temos:
- a curva é dada por
; - o ponto onde queremos a tangente é
; - a direção da reta tangente é dada pela derivada
avaliada em .
Passo 2
Explicar como obter a direção da tangente (a derivada vetorial) — conceitos e fórmulas usadas.
Se
, então a derivada é feita componente a componente:
Regras de derivação que vamos usar:
-
. -
. -
para constante .
Aplicando isso às componentes de
obtemos a expressão geral de
(a conta será feita no próximo passo).
Passo 3
Calcular a derivada
componente a componente.
A primeira componente é
. Assim
A segunda componente é
. Assim
A terceira componente é
. Assim
Portanto
Passo 4
Calcular o ponto da curva em
e avaliar a derivada em
.
Primeiro, valores trigonométricos básicos:
Agora a posição no ponto:
E a direção (derivada) no ponto:
Passo 5
Construir a equação da reta tangente usando ponto e direção — método e interpretação.
Forma vetorial padrão da reta que passa pelo ponto
e tem vetor direção
é
onde
é o parâmetro da reta. Aqui
e
. Basta substituir os vetores calculados para obter a equação da reta tangente.