Determinar uma equação da reta tangente à curva, no ponto indicado.
\vec{r}(t)=(2 \cos (t), 2 \sin (t), 3 t), \quad t_{0}=\frac{\pi}{3}

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\vec{r}(t)=(2\cos(t),\,2\sin(t),\,3t)
e o ponto de interesse t_{0}=\dfrac{\pi}{3}. A tarefa é: determinar uma equação da reta tangente à curva no ponto correspondente a t_{0}.
Informações relevantes que temos:
  • a curva é dada por \vec{r}(t);
  • o ponto onde queremos a tangente é \vec{r}\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right);
  • a direção da reta tangente é dada pela derivada \vec{r}\,'(t) avaliada em t_{0}.

Passo 2

Explicar como obter a direção da tangente (a derivada vetorial) — conceitos e fórmulas usadas.
Se \vec{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)), então a derivada é feita componente a componente:
\vec{r}\,'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t)).
Regras de derivação que vamos usar:
  • \dfrac{d}{dt}\cos(t)=-\sin(t).
  • \dfrac{d}{dt}\sin(t)=\cos(t).
  • \dfrac{d}{dt}(a\,t)=a para constante a.
Aplicando isso às componentes de \vec{r}(t) obtemos a expressão geral de \vec{r}\,'(t) (a conta será feita no próximo passo).

Passo 3

Calcular a derivada \vec{r}\,'(t) componente a componente.
A primeira componente é x(t)=2\cos(t). Assim
x'(t)=2\cdot\frac{d}{dt}\cos(t)=2\cdot(-\sin(t))=-2\sin(t).
A segunda componente é y(t)=2\sin(t). Assim
y'(t)=2\cdot\frac{d}{dt}\sin(t)=2\cdot\cos(t)=2\cos(t).
A terceira componente é z(t)=3t. Assim
z'(t)=3.
Portanto
\vec{r}\,'(t)=\bigl(-2\sin(t),\,2\cos(t),\,3\bigr).

Passo 4

Calcular o ponto da curva em t_{0}=\dfrac{\pi}{3} e avaliar a derivada em t_{0}.
Primeiro, valores trigonométricos básicos:
\cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{1}{2},\qquad \sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Agora a posição no ponto:
\vec{r}\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\Bigl(2\cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right),\,2\sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right),\,3\cdot\tfrac{\pi}{3}\Bigr) =\bigl(1,\,\sqrt{3},\,\pi\bigr).
E a direção (derivada) no ponto:
\vec{r}\,'\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right)=\bigl(-2\sin\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right),\,2\cos\!\left(\tfrac{\pi}{3}\right),\,3\bigr) =\bigl(-\sqrt{3},\,1,\,3\bigr).

Passo 5

Construir a equação da reta tangente usando ponto e direção — método e interpretação.
Forma vetorial padrão da reta que passa pelo ponto \vec{p} e tem vetor direção \vec{v} é
\vec{\ell}(s)=\vec{p}+s\vec{v},\qquad s\in\mathbb{R},
onde s é o parâmetro da reta. Aqui \vec{p}=\vec{r}\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) e \vec{v}=\vec{r}\,'\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right). Basta substituir os vetores calculados para obter a equação da reta tangente.

Resposta

\vec{\ell}(s)=\bigl(1,\,\sqrt{3},\,\pi\bigr)+s\bigl(-\sqrt{3},\,1,\,3\bigr),\qquad s\in\mathbb{R}
x=1-s\sqrt{3},\qquad y=\sqrt{3}+s,\qquad z=\pi+3s
\frac{x-1}{-\sqrt{3}}=\frac{y-\sqrt{3}}{1}=\frac{z-\pi}{3}

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