O enunciado fornece duas equações de planos e pede uma representação paramétrica da reta que é a interseção desses planos. As informações dadas são:
2x-5y+4z-1=0
3x-2y-5z-1=0
O que se pede: encontrar uma representação paramétrica da reta (isto é, uma expressão do tipo \vec r=\vec r_0+t\vec v ou as equações paramétricas x=x(t),\,y=y(t),\,z=z(t)) que resolve simultaneamente as duas equações acima.
Passo 2
Primeiro passo técnico importante (explicação didática): cada plano tem um vetor normal formado pelos coeficientes de x,y,z. Esses vetores normais são importantes porque a direção da reta de interseção é perpendicular a ambos os normais; portanto a direção da reta pode ser obtida pelo produto vetorial (cross product) dos normais.
Os vetores normais são:
\vec n_1=(2,-5,4)
\vec n_2=(3,-2,-5)
Passo 3
Agora vamos calcular o produto vetorial \vec v=\vec n_1\times\vec n_2. Lembrando a definição do produto vetorial em componentes (determinante com os vetores canônicos):
componente em \mathbf{j} (lembrar do sinal negativo na expansão):
-\big(2\cdot(-5)-4\cdot3\big)=-(-10-12)=22
componente em \mathbf{k}:
2\cdot(-2)-(-5)\cdot3=-4-(-15)=11
Logo
\vec v=(33,22,11).
Podemos simplificar dividindo por 11 (direção é determinada a menos de escala):
\vec v=(3,2,1).
Interpretação didática curta: \vec v é um vetor paralelo à reta de interseção, porque é perpendicular a ambos \vec n_1 e \vec n_2.]
Passo 4
Agora precisamos de um ponto \vec r_0 que pertença à reta (ou seja, que satisfaça as duas equações dos planos). Para achar um ponto, podemos atribuir um valor conveniente a uma das variáveis e resolver as duas equações lineares restantes. Vou escolher \,z=0 para simplificar.
Substituindo \,z=0 nas equações dos planos obtemos o sistema:
2x-5y=1
3x-2y=1
Vamos resolver por eliminação. Multiplico a primeira equação por 3 e a segunda por 2: