Determinar uma representação paramétrica da reta que representada por
2 x-5 y+4 z-1=0 \quad \text { e } \quad 3 x-2 y-5 z-1=0

Passo 1

O enunciado fornece duas equações de planos e pede uma representação paramétrica da reta que é a interseção desses planos. As informações dadas são:
2x-5y+4z-1=0
3x-2y-5z-1=0
O que se pede: encontrar uma representação paramétrica da reta (isto é, uma expressão do tipo \vec r=\vec r_0+t\vec v ou as equações paramétricas x=x(t),\,y=y(t),\,z=z(t)) que resolve simultaneamente as duas equações acima.

Passo 2

Primeiro passo técnico importante (explicação didática): cada plano tem um vetor normal formado pelos coeficientes de x,y,z. Esses vetores normais são importantes porque a direção da reta de interseção é perpendicular a ambos os normais; portanto a direção da reta pode ser obtida pelo produto vetorial (cross product) dos normais.
Os vetores normais são:
\vec n_1=(2,-5,4)
\vec n_2=(3,-2,-5)

Passo 3

Agora vamos calcular o produto vetorial \vec v=\vec n_1\times\vec n_2. Lembrando a definição do produto vetorial em componentes (determinante com os vetores canônicos):
\vec n_1\times\vec n_2=\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 2 & -5 & 4\\[4pt] 3 & -2 & -5 \end{vmatrix}
Calculando cada componente:
  • componente em \mathbf{i}:
(-5)\cdot(-5)-4\cdot(-2)=25-(-8)=33
  • componente em \mathbf{j} (lembrar do sinal negativo na expansão):
-\big(2\cdot(-5)-4\cdot3\big)=-(-10-12)=22
  • componente em \mathbf{k}:
2\cdot(-2)-(-5)\cdot3=-4-(-15)=11
Logo
\vec v=(33,22,11).
Podemos simplificar dividindo por 11 (direção é determinada a menos de escala):
\vec v=(3,2,1).
Interpretação didática curta: \vec v é um vetor paralelo à reta de interseção, porque é perpendicular a ambos \vec n_1 e \vec n_2.]

Passo 4

Agora precisamos de um ponto \vec r_0 que pertença à reta (ou seja, que satisfaça as duas equações dos planos). Para achar um ponto, podemos atribuir um valor conveniente a uma das variáveis e resolver as duas equações lineares restantes. Vou escolher \,z=0 para simplificar.
Substituindo \,z=0 nas equações dos planos obtemos o sistema:
2x-5y=1
3x-2y=1
Vamos resolver por eliminação. Multiplico a primeira equação por 3 e a segunda por 2:
6x-15y=3
6x-4y=2
Subtraindo a segunda da primeira:
(6x-15y)-(6x-4y)=-11y=1
Portanto
y=-\dfrac{1}{11}.
Substituindo em 3x-2y=1:
3x-2\left(-\dfrac{1}{11}\right)=1
3x+\dfrac{2}{11}=1
3x=\dfrac{9}{11}
x=\dfrac{3}{11}.
Assim um ponto da reta é
\vec r_0=\left(\dfrac{3}{11},-\dfrac{1}{11},0\right).
Obs.: qualquer outro valor escolhido para z daria outro ponto, mas este é suficiente.

Passo 5

Montando a representação paramétrica padrão com parâmetro t:
na forma vetorial:
\vec r=\left(\dfrac{3}{11},-\dfrac{1}{11},0\right)+t(3,2,1).
Nas equações paramétricas por componentes:
x=\dfrac{3}{11}+3t,
y=-\dfrac{1}{11}+2t,
z=t.
Aqui t\in\mathbb{R} percorre toda a reta.

Passo 6

Cheque rápido (para ter confiança na resposta): verifique que \vec v é ortogonal aos normais e que \vec r_0 satisfaz ambos os planos.
Produto escalar com \vec n_1:
\vec n_1\cdot\vec v=2\cdot3+(-5)\cdot2+4\cdot1=6-10+4=0.
Produto escalar com \vec n_2:
\vec n_2\cdot\vec v=3\cdot3+(-2)\cdot2+(-5)\cdot1=9-4-5=0.
Substituindo \vec r_0 nas equações dos planos:
2\cdot\dfrac{3}{11}-5\cdot\left(-\dfrac{1}{11}\right)+4\cdot0-1=\dfrac{6}{11}+\dfrac{5}{11}-1=0,
3\cdot\dfrac{3}{11}-2\cdot\left(-\dfrac{1}{11}\right)-5\cdot0-1=\dfrac{9}{11}+\dfrac{2}{11}-1=0.
Tudo confere: vetor direção e ponto são corretos.

Resposta

\vec r=\left(\dfrac{3}{11},-\dfrac{1}{11},0\right)+t(3,2,1)
x=\dfrac{3}{11}+3t,\quad y=-\dfrac{1}{11}+2t,\quad z=t

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