Parametrize a curva dada por sua equação cartesiana.
Passo 1
O enunciado dá uma curva no espaço com as duas equações cartesianas:
e
. A tarefa é escrever uma parametrização dessa curva — isto é, encontrar uma função que, para cada valor de um parâmetro, fornece as coordenadas
de um ponto da curva.
Informações relevantes:
- A curva é o conjunto de pontos
que satisfazem e . - Não há restrição explícita no domínio de
, então presume-se que varia por todos os números reais.
Passo 2
O que é parametrizar uma curva (aula rápida, bem direta)?
- Uma parametrização é uma aplicação
que associa a cada parâmetro (num intervalo ) um ponto na curva. - Se a curva é dada por relações do tipo
e , a escolha mais simples e natural é usar como parâmetro: tomar . Isso costuma ser o jeito mais fácil em provas porque transforma as equações diretas em funções de .
Passo 3
Aplicando a ideia ao caso concreto:
- Tomamos
. - Como
, substituímos e obtemos . - Como
é constante, tomamos .
Portanto uma parametrização conveniente é
com parâmetro
.
Passo 4
Verificação (sempre faça isto na prova para não errar):
- Se
, então o ponto tem coordenadas , , . Assim e são satisfeitas para todo . - Inversamente, dado qualquer ponto
da curva, tem-se e . Tomando recupera-se . Logo a parametrização cobre exatamente todos os pontos da curva.
Passo 5
Observações úteis para a prova (dicas rápidas e exemplos):
- É sempre válido escolher
como parâmetro quando as equações são , . Isso dá . - Alternativas: pode reparametrizar com escala ou translação, por exemplo
ou . Todas descrevem a mesma curva com diferentes velocidades/posições iniciais. - Tangente: derivando, obtém-se
. Em cada ponto o vetor tangente mostra a direção da curva; note que a componente em é , então o vetor nunca é zero e a curva é regular. - Exemplo numérico: para
, ; o vetor tangente ali é .