Parametrize a curva dada por sua equação cartesiana.
y=x^{3} ; \quad z=3

Passo 1

O enunciado dá uma curva no espaço com as duas equações cartesianas: y=x^{3} e z=3. A tarefa é escrever uma parametrização dessa curva — isto é, encontrar uma função que, para cada valor de um parâmetro, fornece as coordenadas (x,y,z) de um ponto da curva.
Informações relevantes:
  • A curva é o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem \;y=x^{3}\; e \;z=3.
  • Não há restrição explícita no domínio de x, então presume-se que x varia por todos os números reais.

Passo 2

O que é parametrizar uma curva (aula rápida, bem direta)?
  • Uma parametrização é uma aplicação \mathbf{r} : I \to \mathbb{R}^{3} que associa a cada parâmetro t (num intervalo I) um ponto \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) na curva.
  • Se a curva é dada por relações do tipo y=f(x) e z=g(x), a escolha mais simples e natural é usar x como parâmetro: tomar x(t)=t. Isso costuma ser o jeito mais fácil em provas porque transforma as equações diretas em funções de t.

Passo 3

Aplicando a ideia ao caso concreto:
  • Tomamos x(t)=t.
  • Como y=x^{3}, substituímos x=t e obtemos y(t)=t^{3}.
  • Como z=3 é constante, tomamos z(t)=3.
Portanto uma parametrização conveniente é
\mathbf{r}(t)=(t,\;t^{3},\;3),
com parâmetro \;t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Verificação (sempre faça isto na prova para não errar):
  • Se \mathbf{r}(t)=(t,t^{3},3), então o ponto tem coordenadas x=t, y=t^{3}, z=3. Assim y=(x)^{3} e z=3 são satisfeitas para todo t.
  • Inversamente, dado qualquer ponto (x,y,z) da curva, tem-se z=3 e y=x^{3}. Tomando t=x recupera-se \mathbf{r}(t)=(x,x^{3},3). Logo a parametrização cobre exatamente todos os pontos da curva.

Passo 5

Observações úteis para a prova (dicas rápidas e exemplos):
  • É sempre válido escolher x como parâmetro quando as equações são y=f(x), z=g(x). Isso dá \mathbf{r}(t)=(t,f(t),g(t)).
  • Alternativas: pode reparametrizar com escala ou translação, por exemplo \mathbf{r}(s)=(2s,(2s)^{3},3) ou \mathbf{r}(u)=(u+1,(u+1)^{3},3). Todas descrevem a mesma curva com diferentes velocidades/posições iniciais.
  • Tangente: derivando, obtém-se \mathbf{r}'(t)=(1,3t^{2},0). Em cada ponto o vetor tangente mostra a direção da curva; note que a componente em x é 1, então o vetor nunca é zero e a curva é regular.
  • Exemplo numérico: para t=2, \mathbf{r}(2)=(2,8,3); o vetor tangente ali é \mathbf{r}'(2)=(1,12,0).

Resposta

\mathbf{r}(t)=(t,t^{3},3),\;t\in\mathbb{R}

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