Determinar a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função dada implicitamente pela equação, no ponto indicado:
raiz2 x+raiz3 y=5 em (2,3)

Passo 1

Então, a gente precisa encontrar as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função dada pela equação raiz2x + raiz3y = 5 no ponto (2, 3). Vamos usar derivadas implícitas pra descobrir a inclinação da tangente e, com isso, achar as equações das retas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada dydx usando derivadas implícitas. Isso significa que a gente vai derivar ambos os lados da equação em relação a x.

Passo 3

Derivando raiz2x em relação a x, temos:
ddx raiz2x = 12raiz2x cdot 2 = 1raiz2x

Passo 4

Derivando raiz3y em relação a x, lembrando que y é função de x, temos:
ddx raiz3y = 12raiz3y cdot 3 dydx = 32raiz3y cdot dydx

Passo 5

Derivando o lado direito da equação, que é 5, a derivada é 0.

Passo 6

Colocando tudo junto, temos a equação:
1raiz2x + 32raiz3y cdot dydx = 0

Passo 7

Agora, isolamos dydx:
32raiz3y cdot dydx = -1raiz2x
dydx = -2raiz3y3raiz2x

Passo 8

Substituindo os valores de x = 2 e y = 3 na derivada:
dydxg|(2,3) = -2raiz3 cdot 33raiz2 cdot 2 = -2raiz93raiz4 = -2 cdot 33 cdot 2 = -1
Então, a inclinação da reta tangente é -1.

Passo 9

Com a inclinação m = -1 e o ponto (2, 3), usamos a fórmula da reta:
y - y1 = m(x - x1)
Substituindo:
y - 3 = -1(x - 2)
y = -x + 5
Essa é a equação da reta tangente.

Passo 10

A reta normal é perpendicular à tangente, então a inclinação dela é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Como mtan>=nte = -1, então:
mnormal = 1

Passo 11

Usando a mesma fórmula da reta com m = 1 e ponto (2, 3):
y - 3 = 1(x - 2)
y = x + 1
Essa é a equação da reta normal.

Resposta

A equação da reta tangente é y = -x + 5 e a equação da reta normal é y = x + 1.

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