Determinar a equação da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função dada implicitamente pela equação, no ponto indicado: em
Passo 1
Então, a gente precisa encontrar as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico da função dada pela equação no ponto (2, 3). Vamos usar derivadas implícitas pra descobrir a inclinação da tangente e, com isso, achar as equações das retas.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada usando derivadas implícitas. Isso significa que a gente vai derivar ambos os lados da equação em relação a .
Passo 3
Derivando em relação a , temos:
Passo 4
Derivando em relação a , lembrando que é função de , temos:
Passo 5
Derivando o lado direito da equação, que é 5, a derivada é 0.
Passo 6
Colocando tudo junto, temos a equação:
Passo 7
Agora, isolamos :
Passo 8
Substituindo os valores de e na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente é -1.
Passo 9
Com a inclinação m = -1 e o ponto (2, 3), usamos a fórmula da reta:
y - y1 = m(x - x1)
Substituindo:
y - 3 = -1(x - 2)
y = -x + 5
Essa é a equação da reta tangente.
Passo 10
A reta normal é perpendicular à tangente, então a inclinação dela é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Como mtan>=nte = -1, então:
mnormal = 1
Passo 11
Usando a mesma fórmula da reta com m = 1 e ponto (2, 3):
y - 3 = 1(x - 2)
y = x + 1
Essa é a equação da reta normal.
Resposta
A equação da reta tangente é y = -x + 5 e a equação da reta normal é y = x + 1.