Classifique os pontos críticos da função
Passo 1
A gente tem a função f(x,y)=x² + x y³ – 12 x y e precisa achar e classificar os pontos críticos usando derivadas parciais (para encontrar onde o gradiente é zero) e depois a matriz Hessiana (para distinguir mínimo, máximo ou sela).
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais. A derivada em relação a x é
e em relação a y é
Passo 3
Agora igualamos as duas derivadas a zero, montando o sistema:
Da segunda equação temos x=0 ou y^2=4 (isto é, y=±2).
Passo 4
Resolvendo o sistema obtemos cinco pontos críticos:
- Se x=0, da primeira equação: y(y^2-12)=0 → y=0 ou y=±2√3. Logo (0,0), (0,2√3) e (0,-2√3).
- Se y=2, então 2x +8 -24=0 → x=8, ponto (8,2).
- Se y=-2, então 2x -8 +24=0 → x=-8, ponto (-8,-2).
Passo 5
Montamos a matriz Hessiana H com as segundas derivadas:
O discriminante é
Passo 6
Vamos avaliar D e f_{xx} em cada ponto para classificar:
- Em (0,0): f_{xx}=2, f_{xy}=-12, f_{yy}=0 ⇒ D=2·0-(-12)²=-144<0 → ponto de sela.
- Em (0,±2√3): f_{xx}=2, f_{xy}=3·(12)-12=24, f_{yy}=0 ⇒ D=2·0-24²=-576<0 → sela.
- Em (8,2): f_{xx}=2, f_{xy}=3·4-12=0, f_{yy}=6·8·2=96 ⇒ D=2·96-0=192>0 e f_{xx}>0 → mínimo local.
- Em (-8,-2): f_{xx}=2, f_{xy}=0, f_{yy}=6·(-8)·(-2)=96 ⇒ D=192>0 e f_{xx}>0 → mínimo local.
Resposta
Os pontos críticos são:
(0,0), (0,2√3) e (0,-2√3) → pontos de sela;
(8,2) e (-8,-2) → mínimos locais.
(0,0), (0,2√3) e (0,-2√3) → pontos de sela;
(8,2) e (-8,-2) → mínimos locais.