Classifique os pontos críticos da função
f(x, y)=x^2+x y^3-12 x y

Passo 1

A gente tem a função f(x,y)=x² + x y³ – 12 x y e precisa achar e classificar os pontos críticos usando derivadas parciais (para encontrar onde o gradiente é zero) e depois a matriz Hessiana (para distinguir mínimo, máximo ou sela).

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais. A derivada em relação a x é
partial fpartial x=2x + y^3 - 12y
e em relação a y é
partial fpartial y=3x y^2 - 12x = x,(3y^2-12)

Passo 3

Agora igualamos as duas derivadas a zero, montando o sistema:
2x + y^3 -12y = 0, x,(3y^2-12) = 0
Da segunda equação temos x=0 ou y^2=4 (isto é, y=±2).

Passo 4

Resolvendo o sistema obtemos cinco pontos críticos:
  • Se x=0, da primeira equação: y(y^2-12)=0 → y=0 ou y=±2√3. Logo (0,0), (0,2√3) e (0,-2√3).
  • Se y=2, então 2x +8 -24=0 → x=8, ponto (8,2).
  • Se y=-2, então 2x -8 +24=0 → x=-8, ponto (-8,-2).

Passo 5

Montamos a matriz Hessiana H com as segundas derivadas:
H= fxx & fxy fxy & fyy = 2 & 3y^2-12 3y^2-12 & 6xy
O discriminante é
D = fxx,fyy - (fxy)^2

Passo 6

Vamos avaliar D e f_{xx} em cada ponto para classificar:
  • Em (0,0): f_{xx}=2, f_{xy}=-12, f_{yy}=0 ⇒ D=2·0-(-12)²=-144<0 → ponto de sela.
  • Em (0,±2√3): f_{xx}=2, f_{xy}=3·(12)-12=24, f_{yy}=0 ⇒ D=2·0-24²=-576<0 → sela.
  • Em (8,2): f_{xx}=2, f_{xy}=3·4-12=0, f_{yy}=6·8·2=96 ⇒ D=2·96-0=192>0 e f_{xx}>0 → mínimo local.
  • Em (-8,-2): f_{xx}=2, f_{xy}=0, f_{yy}=6·(-8)·(-2)=96 ⇒ D=192>0 e f_{xx}>0 → mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos são:
(0,0), (0,2√3) e (0,-2√3) → pontos de sela;
(8,2) e (-8,-2) → mínimos locais.

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