Calcule
e
no ponto
. Estas derivadas no ponto
satisfazem o Teorema de Schwarz? E fora do
satisfaz?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe trata de derivadas parciais de segunda ordem e do Teorema de Schwarz. A gente tem uma função $ f(x, y) $ definida de duas maneiras: uma quando $ (x, y) $ não é o ponto $ (0,0) $ e outra quando é exatamente $ (0,0) $. Precisamos calcular as derivadas mistas de segunda ordem, ou seja, $ \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} $ e $ \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} $ no ponto $ (0,0) $. Depois, vamos verificar se essas derivadas obedecem ao Teorema de Schwarz nesse ponto e também fora dele.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular derivadas parciais de segunda ordem. A derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ primeiro e depois em relação a $ x $, ou vice-versa. O Teorema de Schwarz diz que, se as derivadas mistas são contínuas, então a ordem das derivadas não altera o resultado: $ \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} $.
Passo 3
Vamos calcular $ \frac{\partial f}{\partial y} $ e depois $ \frac{\partial}{\partial x} $ dessa derivada no ponto $ (0,0) $. A função é:
Vamos começar derivando $ f $ em relação a $ y $.
Passo 4
Para $ (x, y) \neq (0,0) $, a derivada de $ f $ em relação a $ y $ é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada disso em relação a $ x $:
Esse cálculo pode ser um pouco trabalhoso, mas o importante aqui é avaliar no ponto $ (0,0) $.
Passo 6
No ponto $ (0,0) $, para calcular a derivada parcial, usamos o limite:
Então, a primeira derivada parcial em $ y $ no ponto $ (0,0) $ é 0.
Passo 7
Agora, vamos derivar essa derivada parcial em relação a $ x $:
Então, $ \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}(0,0) = 0 $.
Passo 8
Vamos repetir o processo para $ \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} $. Primeiro, derivamos $ f $ em relação a $ x $:
Passo 9
Agora, derivamos isso em relação a $ y $ no ponto $ (0,0) $:
Então, $ \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x}(0,0) = 0 $.
Passo 10
Agora que temos as duas derivadas mistas no ponto $ (0,0) $, ambas são iguais a 0. Portanto, no ponto $ (0,0) $, elas satisfazem o Teorema de Schwarz porque são iguais.
Passo 11
Fora do ponto $ (0,0) $, a função $ f(x, y) $ é diferenciável e as derivadas mistas também são contínuas. Assim, fora de $ (0,0) $, as derivadas mistas $ \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} $ e $ \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} $ também são iguais, satisfazendo o Teorema de Schwarz.
Resposta
No ponto $ (0,0) $, as derivadas mistas de segunda ordem $ \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} $ e $ \frac{\partial^{2} f}{\partial y \partial x} $ são ambas iguais a zero. Portanto, neste ponto, as derivadas satisfazem o Teorema de Schwarz. Além disso, fora do ponto $ (0,0) $, as derivadas mistas também são iguais, garantindo que o Teorema de Schwarz é satisfeito em todo o domínio da função.