Considerando a função periódica de período 2 pi
f(x)=x cdot sen(x) ; -pi
Determine:
Determine a soma da série sumn=2^+infty (-1)^nn^2-1

Passo 1

Estamos estudando a soma da série sumn=2^infty(-1)^nn^2-1 usando séries de Fourier da função periódica de período 2pi dada por f(x)=xsin(x), definida em -pi. A ideia é expandir f(x), avaliar em um ponto conveniente e isolar a soma.

Passo 2

Como f(x)=xsin(x) é par (produto de duas funções ímpares), só aparecem termos de cosseno na série de Fourier. Escrevemos então
f(x)=a02+sumn=1^infty ancos(nx)
Precisamos determinar a0 e an.

Passo 3

Calculamos primeiro a0 e a1. Como xsin(x) é par,
a0=2piintegral0^pi xsin x,dx
Usando integral0^pi xsin x,dx=pi, obtemos a0=2 e portanto a0/2=1. Para a1, nota-se
a1=2piintegral0^pi xsin xcos x,dx=1piintegral0^pi xsin(2x),dx=-tfrac12

Passo 4

Para n>=2,
an=2piintegral0^pi xsin(x)cos(nx),dx =1piintegral0^pi xl[sin((n+1)x)-sin((n-1)x)r]dx
Aplicando integral0^pi xsin(ax),dx=-tfracpiacos(api) com a=npm1, obtemos
an=2(-1)^n+1n^2-1

Passo 5

Logo a série de Fourier é
f(x)=1-tfrac12cos x+sumn=2^infty 2(-1)^n+1n^2-1cos(nx)
Tomando x=0, onde f(0)=0 e cos(nx)=1, vem
0=1-tfrac12+2sumn=2^infty(-1)^n+1n^2-1

Passo 6

Isolando a soma,
2sumn=2^infty(-1)^n+1/(n^2-1)=-tfrac12 $$
\sum_{n=2}\infty(-1){n+1}/(n^2-1)=-\tfrac14
sumn=2^infty(-1)^n+1/(n^2-1)=-tfrac14
\sum_{n=2}\infty\frac{(-1)n}{n^2-1}=\frac14.
$$

Resposta

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