Considerando a função periódica de período
Determine:
Determine a soma da série
Determine a soma da série
Passo 1
Estamos estudando a soma da série
usando séries de Fourier da função periódica de período
dada por
, definida em
. A ideia é expandir
, avaliar em um ponto conveniente e isolar a soma.
Passo 2
Como
é par (produto de duas funções ímpares), só aparecem termos de cosseno na série de Fourier. Escrevemos então
Precisamos determinar
e
.
Passo 3
Calculamos primeiro
e
. Como
é par,
Usando
, obtemos
e portanto
. Para
, nota-se
Passo 4
Para
,
Aplicando
com
, obtemos
Passo 5
Logo a série de Fourier é
Tomando
, onde
e
, vem
Passo 6
Isolando a soma,
\sum_{n=2}\infty(-1){n+1}/(n^2-1)=-\tfrac14
\sum_{n=2}\infty\frac{(-1)n}{n^2-1}=\frac14.
$$