Determinar as equações paramétricas das retas a seguir.
(e) que passa pelo ponto A=(1,1,1) e é ortogonal aos eixos x e y simultaneamente

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas da reta em \mathbb{R}^3 que passa por A=(1,1,1) e é ortogonal simultaneamente aos eixos x (direção (1,0,0)) e y (direção (0,1,0)). O conteúdo é geometria analítica de retas em três dimensões e vamos usar produto escalar para impor ortogonalidade.

Passo 2

Seja \mathbf v=(v_x,v_y,v_z) o vetor diretor da reta. Para \mathbf v ser ortogonal ao eixo x, devemos ter
\mathbf v\cdot(1,0,0)=v_x=0.
Para \mathbf v ser ortogonal ao eixo y, devemos ter
\mathbf v\cdot(0,1,0)=v_y=0.
Logo, v_x=0 e v_y=0.

Passo 3

Como v_x=0 e v_y=0, resta apenas v_z\neq0. Podemos escolher v_z=1 (qualquer escalar não nulo daria a mesma reta). Assim o vetor diretor é
\mathbf v=(0,0,1).

Passo 4

A equação vetorial da reta é
\mathbf r(t) = (1,1,1) + t\,(0,0,1),\quad t\in\mathbb{R}.
Convertendo para coordenadas, temos as equações paramétricas:
x(t)=1,\quad y(t)=1,\quad z(t)=1+t,\quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

x=1,\quad y=1,\quad z=1+t,\quad t\in\mathbb{R}.

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