Identifique as superfícies abaixo e calcule seus traos (interseção com os planos base x y, x z e y z.
(d) z^{2}-4 x^{2}-4 y^{2}=0

Passo 1

O enunciado pede para identificar a superfície dada por
z^{2} - 4x^{2} - 4y^{2} = 0
e calcular seus traços (interseções) com os planos coordenados xy, xz e yz. O conteúdo envolvido é o estudo de superfícies quádricas e suas seções em planos coordenados.

Passo 2

Para reconhecer o tipo de superfície, escrevemos a equação em forma padrão:
z^{2} = 4\bigl(x^{2} + y^{2}\bigr).
Isso mostra que temos uma superfície de segundo grau com simetria circular em torno do eixo z. É precisamente um cone duplo circular reto de vértice na origem, aberto nos sentidos positivo e negativo de z.

Passo 3

Traço com o plano xy (onde z = 0):
0^{2} - 4x^{2} - 4y^{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} + y^{2} = 0.
A única solução real é x=0 e y=0. Logo, o traço no plano xy é o ponto (0,0,0).

Passo 4

Traço com o plano xz (onde y = 0):
z^{2} - 4x^{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad z^{2} = 4x^{2} \quad\Longrightarrow\quad z = 2x \quad\text{ou}\quad z = -2x.
Portanto, no plano xz a interseção são duas retas que passam pela origem, dadas por z = 2x e z = -2x.

Passo 5

Traço com o plano yz (onde x = 0):
z^{2} - 4y^{2} = 0 \quad\Longrightarrow\quad z^{2} = 4y^{2} \quad\Longrightarrow\quad z = 2y \quad\text{ou}\quad z = -2y.
No plano yz, a interseção são as retas z = 2y e z = -2y.

Resposta

A superfície é um cone duplo circular reto de vértice na origem e eixo ao longo de z.
Seus traços são:
– Plano xy: ponto (0,0,0).
– Plano xz: retas z=2x e z=-2x.
– Plano yz: retas z=2y e z=-2y.

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