Determinar as equações paramétricas das retas a seguir.
(b) que passa pelo ponto A=(1,2,0) e tem a direção do vetor \vec{v}=3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A=(1,2,0) e tem vetor direção \vec v = 3\hat i + \hat j - \hat k. O conteúdo aqui é representar uma reta em \mathbb{R}^3 por sua forma vetorial e depois extrair as equações paramétricas das componentes.

Passo 2

Em geral, a forma vetorial de uma reta em \mathbb{R}^3 é
\vec r(t) = \vec r_0 + t\,\vec v,
onde \vec r_0 é o vetor de posição de um ponto da reta (aqui \vec r_0 = (1,2,0)) e \vec v é o vetor direção.

Passo 3

Substituindo \vec r_0 = (1,2,0) e \vec v = (3,1,-1) na fórmula vetorial, obtemos
\vec r(t) = (1,2,0) + t\,(3,1,-1).

Passo 4

Separando as componentes x, y e z, as equações paramétricas são
\begin{cases} x = 1 + 3t,\\\ y = 2 + t,\\\ z = 0 - t = -t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.

Resposta

\begin{cases} x = 1 + 3t,\\\ y = 2 + t,\\\ z = -t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.

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