Determinar as equações da reta tangente à curva no ponto dado.
x^3 y^5+5 x^2+y+x=1 e P=(0,1);

Passo 1

A questão pede a reta tangente à curva implícita x^3y^5 + 5x^2 + y + x = 1 no ponto P=(0,1). O conteúdo é derivada implícita, e vamos precisar aplicar regra do produto e regra da cadeia para obter y'.

Passo 2

Vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação a x. Primeiro escrevemos:
ddx(x^3y^5) + ddx(5x^2) + ddx(y) + ddx(x) = ddx(1)

Passo 3

Agora calculamos cada termo. Para x^3y^5 usamos produto e cadeia:
ddx(x^3y^5) = 3x^2y^5 + x^3cdot5y^4y'

Passo 4

Os demais são diretos: ddx(5x^2)=10x, ddx(y)=y' e ddx(x)=1, e ddx(1)=0. Substituindo, fica:
3x^2y^5 + 5x^3y^4y' + 10x + y' + 1 = 0

Passo 5

Agrupando os termos com y' de um lado e os outros do outro:
(5x^3y^4 + 1)y' = -3x^2y^5 - 10x - 1

Passo 6

Logo a derivada implícita é:
y' = -3x^2y^5 - 10x - 15x^3y^4 + 1

Passo 7

No ponto (0,1) temos numerador -0 - 0 - 1 = -1 e denominador 5cdot0^3cdot1^4 + 1 = 1. Então y'|(0,1) = -1.
Com coeficiente angular m = -1 e ponto (0,1), a equação da reta é dada pela forma ponto-declive: y - 1 = -1(x - 0), ou seja, y = -x + 1.

Resposta

y = -x + 1

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