Determine o comprimento da curva
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento de uma curva definida pela função vetorial
no intervalo de
de 0 a 1. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de curva em cálculo, que envolve derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função vetorial
em relação a
, ou seja,
. Isso nos dá a velocidade da curva em cada ponto.
Passo 3
Vamos derivar cada componente separadamente:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Então,
Passo 4
Agora, para encontrar o comprimento da curva, usamos a fórmula:
Onde
é a norma da derivada, ou seja, a magnitude do vetor
.
Passo 5
Vamos calcular a norma de
:
Simplificando cada termo:
Passo 6
Podemos fatorar a expressão dentro da raiz para simplificar a integral:
Então,
Passo 7
Agora, substituímos de volta na fórmula do comprimento:
Podemos fatorar o 6 para facilitar a integração:
Passo 8
Vamos integrar
em relação a
:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos avaliando uma integral definida.
Passo 9
Agora, avaliamos a integral de 0 a 1:
Resposta
O comprimento da curva é 15 unidades.