(2,0) Determine o comprimento da curva 12 t i+8 t^32 j+3 t^2 k, 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento de uma curva definida pela função vetorial r(t) = 12t,i + 8t^32,j + 3t^2,k no intervalo de t de 0 a 1. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de curva em cálculo, que envolve derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função vetorial r(t) em relação a t, ou seja, r'(t). Isso nos dá a velocidade da curva em cada ponto.
r'(t) = ddt(12t,i + 8t^32,j + 3t^2,k)

Passo 3

Vamos derivar cada componente separadamente:
  • A derivada de 12t em relação a t é 12.
  • A derivada de 8t^32 em relação a t é 8 times 32 t^12 = 12t^12.
  • A derivada de 3t^2 em relação a t é 6t.
Então,
r'(t) = 12,i + 12t^12,j + 6t,k

Passo 4

Agora, para encontrar o comprimento da curva, usamos a fórmula:
Comprimento = integrala^b |r'(t)|,dt
Onde |r'(t)| é a norma da derivada, ou seja, a magnitude do vetor r'(t).

Passo 5

Vamos calcular a norma de r'(t):
|r'(t)| = raiz(12)^2 + (12t^12)^2 + (6t)^2
Simplificando cada termo:
= raiz144 + 144t + 36t^2

Passo 6

Podemos fatorar a expressão dentro da raiz para simplificar a integral:
144 + 144t + 36t^2 = 36(4 + 4t + t^2) = 36(t + 2)^2
Então,
|r'(t)| = raiz36(t + 2)^2 = 6(t + 2)

Passo 7

Agora, substituímos de volta na fórmula do comprimento:
Comprimento = integral0^1 6(t + 2),dt
Podemos fatorar o 6 para facilitar a integração:
= 6 integral0^1 (t + 2),dt

Passo 8

Vamos integrar t + 2 em relação a t:
integral (t + 2),dt = 12t^2 + 2t + C
Onde C é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos avaliando uma integral definida.

Passo 9

Agora, avaliamos a integral de 0 a 1:
6 [ (12(1)^2 + 2(1)) - (12(0)^2 + 2(0)) ] = 6 ( 12 + 2 ) = 6 times 52 = 15

Resposta

O comprimento da curva é 15 unidades.

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