Determine a área da esfera
que se situa acima do cone
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera definida pela equação $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 $ e um cone definido por $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $. Precisamos determinar a área da parte da esfera que está acima desse cone.
Conteúdo da matéria: Cálculo de áreas de superfícies usando integrais múltiplas e coordenadas esféricas.
O que vamos precisar:
- Conhecer as equações da esfera e do cone.
- Saber converter equações para coordenadas esféricas.
- Calcular a área da superfície usando integrais.
Passo 2
Vamos começar convertendo as equações para coordenadas esféricas, onde:
Para a esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 $, sabemos que $ \rho = 2 $ porque o raio da esfera é 2.
Para o cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $, substituindo as coordenadas esféricas:
Simplificando:
Isso significa que a região acima do cone corresponde a $ 0 \leq \phi \leq \frac{\pi}{4} $.
Passo 3
A fórmula para a área de uma superfície em coordenadas esféricas é:
Como $ \rho = 2 $, substituímos na fórmula:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado na integral externa:
Calculando a integral de $ d\theta $:
Passo 6
Finalmente, multiplicamos tudo:
Resposta
A área da esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 $ que está acima do cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ é: