(2,0) Determine a área da esfera x^2+y^2+z^2=4 que se situa acima do cone z= raizx^2+y^2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma esfera definida pela equação $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 $ e um cone definido por $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $. Precisamos determinar a área da parte da esfera que está acima desse cone.
Conteúdo da matéria: Cálculo de áreas de superfícies usando integrais múltiplas e coordenadas esféricas.
O que vamos precisar:
  • Conhecer as equações da esfera e do cone.
  • Saber converter equações para coordenadas esféricas.
  • Calcular a área da superfície usando integrais.

Passo 2

Vamos começar convertendo as equações para coordenadas esféricas, onde:
x = rho sin phi cos theta y = rho sin phi sin theta z = rho cos phi
Para a esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 $, sabemos que $ \rho = 2 $ porque o raio da esfera é 2.
Para o cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $, substituindo as coordenadas esféricas:
x^2 + y^2 + z^2 = 4
Simplificando:
rho = 2
Isso significa que a região acima do cone corresponde a $ 0 \leq \phi \leq \frac{\pi}{4} $.

Passo 3

A fórmula para a área de uma superfície em coordenadas esféricas é:
A = integral integral rho^2 sin phi , dphi , dtheta
Como $ \rho = 2 $, substituímos na fórmula:
rho = 2

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^pi4 sin phi , dphi = -cos phi gr|0^pi4 = -cos ( pi4 ) + cos(0) = -raiz22 + 1 = 1 - raiz22

Passo 5

Agora, substituímos o resultado na integral externa:
A = 4 integral0^2pi (1 - raiz22) dtheta = 4 (1 - raiz22) integral0^2pi dtheta
Calculando a integral de $ d\theta $:
dtheta

Passo 6

Finalmente, multiplicamos tudo:
A = 4 (1 - raiz22) times 2pi = 8pi (1 - raiz22) = 8pi - 4pi raiz2

Resposta

A área da esfera $ x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4 $ que está acima do cone $ z = \sqrt{x^{2} + y^{2}} $ é:
x^2 + y^2 + z^2 = 4

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