1. Determinar as equações das retas r paralelas à reta s : 3 x-4 y+1=0 exteriores à circunferência x^2+y^2=25. Resp: 3 x-4 y+k=0 com |k|>25.

Passo 1

O enunciado pede todas as retas r que sejam paralelas à reta
s: 3x - 4y + 1 = 0
e que estejam completamente fora (exteriores) à circunferência
x^2 + y^2 = 25
O conteúdo aqui é Geometria Analítica de retas no plano e uso da fórmula da distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

Para ser paralela a s, a reta r deve ter os mesmos coeficientes de x e y. Logo a forma geral de r é
3x - 4y + k = 0,
onde k é uma constante a determinar.

Passo 3

A circunferência tem centro (0,0) e raio 5, pois x^2+y^2=25. Para que r seja exterior, a distância do centro (0,0) até r deve ser maior que o raio. Usamos a fórmula
d = l|A x0 + B y0 + Cr|raizA^2 + B^2,
onde aqui A=3, B=-4, C=k e (x0,y0)=(0,0).

Passo 4

Calculando a distância:
d = l|3cdot0 + (-4)cdot0 + kr|raiz3^2 + (-4)^2 = |k|5
Para ser exterior à circunferência, requeremos
d > 5 Longrightarrow |k|5 > 5 Longrightarrow |k| > 25

Resposta

As retas procuradas são
3x - 4y + k = 0 com |k| > 25

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