Determinar, com um erro absoluto inferior a 5 \times 10^{-5}, o zero da função f(x)=1+x+e^{x} no intervalo [-2,-1].
Método da Secante

Passo 1

O que o problema pede e o que nos foi dado.
  • Pede-se o zero da função f(x)=1+x+e^{x} no intervalo [-2,-1] com erro absoluto inferior a \;5\times 10^{-5}.
  • Método a usar: método da secante.
  • Informações fornecidas: intervalo [-2,-1] (vamos usar as extremidades como aproximações iniciais) e tolerância \varepsilon=5\times 10^{-5}.

Passo 2

O que é o método da secante e qual fórmula vamos usar.
  • O método da secante constrói aproximações sucessivas x_{n} da raiz usando duas aproximações anteriores x_{n-1} e x_{n-2}. A fórmula é
x_{n} = x_{n-1} - f(x_{n-1})\cdot\frac{x_{n-1}-x_{n-2}}{f(x_{n-1})-f(x_{n-2})}.
  • Nas fórmulas: x_{n} é a nova aproximação, x_{n-1} e x_{n-2} são as duas últimas aproximações, e f(x) é a função dada.
  • Critério de parada que usaremos: parar quando |x_{n}-x_{n-1}|<\varepsilon (ou seja, quando a diferença entre duas aproximações consecutivas for menor que 5\times 10^{-5}).
  • Escolhemos x_{0}=-2 e x_{1}=-1 porque f(-2) e f(-1) têm sinais opostos (garantindo existência de raiz no intervalo).

Passo 3

Calculamos f(x_{0}) e f(x_{1}).
  • f(-2)=1+(-2)+e^{-2}=-1+e^{-2}. Sabemos e^{-2}\approx 0,1353352832. Logo
f(-2)\approx -1+0,1353352832=-0,8646647168.
  • f(-1)=1+(-1)+e^{-1}=e^{-1}. Sabemos e^{-1}\approx 0,3678794412. Logo
f(-1)\approx 0,3678794412.
Conferimos que f(-2)<0 e f(-1)>0, então há uma raiz em [-2,-1].

Passo 4

Primeira iteração: calcular x_{2} com x_{0}=-2 e x_{1}=-1.
Aplicando a fórmula da secante:
x_{2}=x_{1}-f(x_{1})\cdot\frac{x_{1}-x_{0}}{f(x_{1})-f(x_{0})}.
Substituindo valores aproximados:
x_{2}=-1 - 0,3678794412\cdot\frac{-1-(-2)}{0,3678794412-(-0,8646647168)} = -1 - \frac{0,3678794412\cdot 1}{1,2325441579}.
Calculando a divisão:
\frac{0,3678794412}{1,2325441579}\approx 0,298471505.
Portanto
x_{2}\approx -1 - 0,298471505 = -1,298471505.

Passo 5

Calculamos f(x_{2}). Precisamos de e^{x_{2}}=e^{-1,298471505}. Para calcular e^{-1,298471505} de forma prática: escrevemos
e^{-1,298471505}=e^{-1}\cdot e^{-0,298471505}.
Usamos expansão de séries para e^{t} com t=-0,298471505:
e^{t}\approx 1+t+\frac{t^{2}}{2}+\frac{t^{3}}{6}+\frac{t^{4}}{24}.
Com t=-0,298471505 obtemos (cálculos numéricos mostrados resumidos)
e^{-0,298471505}\approx 0,7419702112.
Então
e^{-1,298471505}\approx e^{-1}\cdot 0,7419702112\approx 0,3678794412\cdot 0,7419702112\approx 0,2729555865.
Logo
f(x_{2})=1+x_{2}+e^{x_{2}}\approx 1-1,298471505+0,2729555865\approx -0,0255159185.

Passo 6

Segunda iteração: calcular x_{3} usando x_{1}=-1 e x_{2}=-1,298471505.
Fórmula:
x_{3}=x_{2}-f(x_{2})\cdot\frac{x_{2}-x_{1}}{f(x_{2})-f(x_{1})}.
Substituindo:
x_{3}=-1,298471505 - (-0,0255159185)\cdot\frac{-1,298471505-(-1)}{-0,0255159185-0,3678794412}.
Calculamos passo a passo:
  • x_{2}-x_{1}=-0,298471505 (diferença com sinal),
  • f(x_{2})-f(x_{1})=-0,0255159185-0,3678794412=-0,3933953597,
  • o quociente \dfrac{f(x_{2})\,(x_{2}-x_{1})}{f(x_{2})-f(x_{1})}\approx \dfrac{(-0,0255159185)\cdot(-0,298471505)}{-0,3933953597}\approx -0,019359805.
    Assim
x_{3}\approx -1,298471505 - (-0,019359805)= -1,279111700\\ (\text{aprox}).
Arredondando com as casas que usamos:
x_{3}\approx -1,279111805.

Passo 7

Calculamos f(x_{3}). Podemos aproveitar e^{x_{2}} e multiplicar por e^{\Delta} com \Delta=x_{3}-x_{2}=0,0193597:
e^{x_{3}}=e^{x_{2}}e^{\Delta}\approx 0,2729555865\cdot e^{0,0193597}.
Como e^{0,0193597}\approx 1+0,0193597+\tfrac{(0,0193597)^{2}}{2}\approx 1,0195469, obtemos
e^{x_{3}}\approx 0,2729555865\cdot 1,0195469\approx 0,2782909412.
Logo
f(x_{3})=1+x_{3}+e^{x_{3}}\approx 1-1,279111805+0,2782909412\approx -0,0008208638.

Passo 8

Terceira iteração: calcular x_{4} usando x_{2}=-1,298471505 e x_{3}=-1,279111805.
Fórmula:
x_{4}=x_{3}-f(x_{3})\cdot\frac{x_{3}-x_{2}}{f(x_{3})-f(x_{2})}.
Substituindo valores:
  • x_{3}-x_{2}=0,0193597,
  • f(x_{3})-f(x_{2})=-0,0008208638-(-0,0255159185)=0,0246950547,
  • numerador f(x_{3})(x_{3}-x_{2})\approx (-0,0008208638)\cdot 0,0193597\approx -0,000015886,
  • quociente \dfrac{f(x_{3})(x_{3}-x_{2})}{f(x_{3})-f(x_{2})}\approx \dfrac{-0,000015886}{0,0246950547}\approx -0,000643469.
    Portanto
x_{4}\approx -1,279111805 - (-0,000643469)= -1,278468336.

Passo 9

Calculamos f(x_{4}). Usando e^{x_{4}}=e^{x_{3}}e^{\Delta} com \Delta=x_{4}-x_{3}=0,000643469:
e^{x_{4}}\approx 0,2782909412\cdot(1+0,000643469)\approx 0,2782909412+0,000178994\approx 0,278469935.
Logo
f(x_{4})=1+x_{4}+e^{x_{4}}\approx 1-1,278468336+0,278469935\approx 0,000001599.
Verificamos a diferença entre iterações:
|x_{4}-x_{3}|=| -1,278468336 - (-1,279111805)|\approx 0,000643469,
que ainda é maior que a tolerância \varepsilon=5\times 10^{-5}, então continuamos.

Passo 10

Quarta iteração: calcular x_{5} usando x_{3}=-1,279111805 e x_{4}=-1,278468336.
Fórmula:
x_{5}=x_{4}-f(x_{4})\cdot\frac{x_{4}-x_{3}}{f(x_{4})-f(x_{3})}.
Substituindo:
  • x_{4}-x_{3}=0,000643469,
  • f(x_{4})-f(x_{3})=0,000001599-(-0,0008208638)=0,0008224628,
  • numerador f(x_{4})(x_{4}-x_{3})\approx 0,000001599\cdot 0,000643469\approx 1,028\times 10^{-9},
  • quociente \dfrac{1,028\times 10^{-9}}{0,0008224628}\approx 1,249\times 10^{-6}.
    Logo
x_{5}\approx -1,278468336 - 1,249\times 10^{-6}= -1,278469585.
Agora verificamos o critério de parada:
|x_{5}-x_{4}|\approx 1,249\times 10^{-6} < 5\times 10^{-5},
portanto podemos parar: atingimos a precisão desejada.

Resposta

-1,278469585

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