Determinar, com um erro absoluto inferior a
, o zero da função
no intervalo
.
Método da Secante
Passo 1
O que o problema pede e o que nos foi dado.
- Pede-se o zero da função
no intervalo com erro absoluto inferior a . - Método a usar: método da secante.
- Informações fornecidas: intervalo
(vamos usar as extremidades como aproximações iniciais) e tolerância .
Passo 2
O que é o método da secante e qual fórmula vamos usar.
- O método da secante constrói aproximações sucessivas
da raiz usando duas aproximações anteriores e . A fórmula é
- Nas fórmulas:
é a nova aproximação, e são as duas últimas aproximações, e é a função dada. - Critério de parada que usaremos: parar quando
(ou seja, quando a diferença entre duas aproximações consecutivas for menor que ). - Escolhemos
e porque e têm sinais opostos (garantindo existência de raiz no intervalo).
Passo 3
Calculamos
e
.
-
. Sabemos . Logo
-
. Sabemos . Logo
Conferimos que
e
, então há uma raiz em
.
Passo 4
Primeira iteração: calcular
com
e
.
Aplicando a fórmula da secante:
Aplicando a fórmula da secante:
Substituindo valores aproximados:
Calculando a divisão:
Portanto
Passo 5
Calculamos
. Precisamos de
. Para calcular
de forma prática: escrevemos
Usamos expansão de séries para
com
:
Com
obtemos (cálculos numéricos mostrados resumidos)
Então
Logo
Passo 6
Segunda iteração: calcular
usando
e
.
Fórmula:
Fórmula:
Substituindo:
Calculamos passo a passo:
-
(diferença com sinal), -
, - o quociente
.
Assim
Arredondando com as casas que usamos:
Passo 7
Calculamos
. Podemos aproveitar
e multiplicar por
com
:
Como
, obtemos
Logo
Passo 8
Terceira iteração: calcular
usando
e
.
Fórmula:
Fórmula:
Substituindo valores:
-
, -
, - numerador
, - quociente
.
Portanto
Passo 9
Calculamos
. Usando
com
:
Logo
Verificamos a diferença entre iterações:
que ainda é maior que a tolerância
, então continuamos.
Passo 10
Quarta iteração: calcular
usando
e
.
Fórmula:
Fórmula:
Substituindo:
-
, -
, - numerador
, - quociente
.
Logo
Agora verificamos o critério de parada:
portanto podemos parar: atingimos a precisão desejada.