Resolva os sistemas lineares abaixo usando o método direto de eliminação de Gauss (com pivoteamento e triangularização da matriz dos coeficientes). Use a técnica de pivoteamento parcial se necessário (se o pivô for zero). \left\{\begin{aligned} 5 x_{1}+2 x_{2}+4 x_{3} & =1 \\\ x_{1}+x_{2}+2 x_{3} & =2 \\\\ 4 x_{1}+3 x_{2}+7 x_{3} & =5\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear abaixo usando eliminação de Gauss (com pivoteamento parcial se necessário). O sistema é:
Não há outras condições ocultas — podemos aplicar diretamente eliminação de Gauss com pivoteamento parcial (escolher o maior elemento em valor absoluto na coluna do pivô quando formos eliminar).]
Passo 2
Breve lição prática sobre o método que vamos usar (para você entender cada passo):
Representamos o sistema pela matriz aumentada, como já temos.
Em cada coluna (começando pela primeira) escolhemos um pivô: o elemento não nulo com maior valor absoluto entre as linhas ainda não eliminadas (pivoteamento parcial). Se o pivô estiver numa linha diferente da atual, trocamos as linhas.
Calculamos multiplicadores m_{ik}=\dfrac{a_{ik}}{a_{kk}} para zerar os elementos abaixo do pivô (onde a_{ik} é o elemento na linha i, coluna k e a_{kk} é o pivô).
Substituímos a linha i por \text{linha}_i - m_{ik}\cdot\text{linha}_k.
Repetimos até obter uma matriz triangular superior; então fazemos substituição regressiva (back-substitution) para encontrar as incógnitas.
Exemplo pequeno: para zerar um elemento 2 abaixo de um pivô 5, o multiplicador é 2/5, e a nova linha é a antiga menos (2/5)\times linha do pivô.
Passo 3
Começamos com a matriz aumentada (já escrita no Passo 1):
Na primeira coluna (coluna do x_{1}) os valores absolutos são |5|,|1|,|4|. O maior em valor absoluto é 5 (na linha 1), então o pivô é a_{11}=5. Não precisamos trocar linhas.]
Passo 4
Zerar os elementos abaixo do pivô a_{11}=5.
Multiplicador para zerar a_{21}=1 é
m_{21}=\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{5}.
Atualizamos a linha 2: \text{L}_2 \leftarrow \text{L}_2 - m_{21}\,\text{L}_1.
Calculemos termo a termo (uso de frações para facilitar sem calculadora):
Agora vamos escolher pivô para a segunda coluna entre as linhas 2 e 3. Olhando os valores absolutos na coluna 2: \left|\dfrac{3}{5}\right|=\dfrac{3}{5} e \left|\dfrac{7}{5}\right|=\dfrac{7}{5}. O maior é \dfrac{7}{5} (linha 3), então por pivoteamento parcial trocamos a linha 2 com a linha 3 para melhorar estabilidade (essa troca é permitida e mantém solução).
Após trocar \text{L}_2 \leftrightarrow \text{L}_3: