Resolva os sistemas lineares abaixo usando o método direto de eliminação de Gauss (com pivoteamento e triangularização da matriz dos coeficientes). Use a técnica de pivoteamento parcial se necessário (se o pivô for zero). \left\{\begin{aligned} 3 x_{1}-2 x_{2}+5 x_{3}+x_{4}= & 7 \\\\ -6 x_{1}+7 x_{2}-8 x_{3}+x_{4}= & -9 \\\\ 9 x_{1}-6 x_{2}+19 x_{3}+x_{4}= & 23 \\\\ 6 x_{1}-4 x_{2}-6 x_{3}+15 x_{4}= & 11\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear e encontrar x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\):
\[\begin{cases} 3x_{1}-2x_{2}+5x_{3}+x_{4}=7,\\[4pt] -6x_{1}+7x_{2}-8x_{3}+x_{4}=-9,\\[4pt] 9x_{1}-6x_{2}+19x_{3}+x_{4}=23,\\[4pt] 6x_{1}-4x_{2}-6x_{3}+15x_{4}=11. \end{cases}
O objetivo é triangularizar a matriz dos coeficientes por eliminação de Gauss (com pivoteamento parcial se necessário) e então fazer substituição regressiva para obter (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}].]
Passo 2
Vou explicar rapidamente a ideia do método (pra gente ficar alinhado antes de calcular): eliminar significa usar operações entre linhas para zerar os elementos abaixo dos pivôs, transformando a matriz em uma forma triangular superior. A operação elementar que usamos é
R_i \leftarrow R_i - m\,R_k,
onde m=\dfrac{a_{ik}}{a_{kk}} é o multiplicador (aqui a_{ik} é o elemento que queremos zerar e a_{kk} é o pivô). Pivoteamento parcial significa, numa coluna, trocar a linha do pivô pela linha que tenha o maior valor absoluto nessa coluna (entre as linhas ainda não eliminadas). Fazemos isso para evitar divisão por zero e para reduzir erros numéricos. Vamos aplicar passo a passo e mostrar cada multiplicador e cada linha resultante.
Passo 3
Primeira coluna: escolhemos como pivô o maior valor absoluto entre as entradas das linhas 1 a 4 na coluna 1. Os valores são |3|,|{-6}|,|9|,|6|, o maior é 9 (linha 3). Então trocamos R_1 com R_3. A matriz aumentada passa a ser
Eliminação na primeira coluna (zerar a_{21},a_{31},a_{41}):
Para R_2 usamos m_{21}=\dfrac{a_{21}}{a_{11}}=\dfrac{-6}{9}=-\dfrac{2}{3}. A operação é R_2\leftarrow R_2 - m_{21}R_1 = R_2 + \tfrac{2}{3}R_1.
Calculando cada entrada de R_2:
Segunda coluna: entre as linhas 2 a 4, os valores na coluna 2 são 3,0,0. O maior em módulo é 3 (já em R_2), então não precisamos trocar linhas. O pivô da segunda etapa é a_{22}=3. As entradas abaixo já são zero, então não há novas eliminações nesta coluna.
Passo 6
Terceira coluna: para escolher o pivô entre as linhas 3 e 4 olhamos os valores |-4/3| e |-56/3|. O maior em módulo é |-56/3| (linha 4), então fazemos permuta R_3\leftrightarrow R_4. Após a troca:
Agora a matriz está triangular superior. Vamos fazer substituição regressiva (back substitution). A última equação (linha 4) dá diretamente x_{4}. Explico: numa matriz triangular superior cada linha k tem a forma