Resolva os sistemas lineares abaixo usando o método direto de eliminação de Gauss (com pivoteamento e triangularização da matriz dos coeficientes). Use a técnica de pivoteamento parcial se necessário (se o pivô for zero).
\left\{\begin{aligned} 3 x_{1}-2 x_{2}+5 x_{3}+x_{4}= & 7 \\\\ -6 x_{1}+7 x_{2}-8 x_{3}+x_{4}= & -9 \\\\ 9 x_{1}-6 x_{2}+19 x_{3}+x_{4}= & 23 \\\\ 6 x_{1}-4 x_{2}-6 x_{3}+15 x_{4}= & 11\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear e encontrar x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\): \[\begin{cases} 3x_{1}-2x_{2}+5x_{3}+x_{4}=7,\\[4pt] -6x_{1}+7x_{2}-8x_{3}+x_{4}=-9,\\[4pt] 9x_{1}-6x_{2}+19x_{3}+x_{4}=23,\\[4pt] 6x_{1}-4x_{2}-6x_{3}+15x_{4}=11. \end{cases}
Informações relevantes dadas:
\text{matriz aumentada inicial }[A|\mathbf{b}]= \left[\begin{array}{cccc|c} 3 & -2 & 5 & 1 & 7\\[4pt] -6 & 7 & -8 & 1 & -9\\[4pt] 9 & -6 & 19 & 1 & 23\\[4pt] 6 & -4 & -6 & 15 & 11 \end{array}\right].
O objetivo é triangularizar a matriz dos coeficientes por eliminação de Gauss (com pivoteamento parcial se necessário) e então fazer substituição regressiva para obter (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}].]

Passo 2

Vou explicar rapidamente a ideia do método (pra gente ficar alinhado antes de calcular): eliminar significa usar operações entre linhas para zerar os elementos abaixo dos pivôs, transformando a matriz em uma forma triangular superior. A operação elementar que usamos é
R_i \leftarrow R_i - m\,R_k,
onde m=\dfrac{a_{ik}}{a_{kk}} é o multiplicador (aqui a_{ik} é o elemento que queremos zerar e a_{kk} é o pivô). Pivoteamento parcial significa, numa coluna, trocar a linha do pivô pela linha que tenha o maior valor absoluto nessa coluna (entre as linhas ainda não eliminadas). Fazemos isso para evitar divisão por zero e para reduzir erros numéricos. Vamos aplicar passo a passo e mostrar cada multiplicador e cada linha resultante.

Passo 3

Primeira coluna: escolhemos como pivô o maior valor absoluto entre as entradas das linhas 1 a 4 na coluna 1. Os valores são |3|,|{-6}|,|9|,|6|, o maior é 9 (linha 3). Então trocamos R_1 com R_3. A matriz aumentada passa a ser
\left[\begin{array}{cccc|c} 9 & -6 & 19 & 1 & 23\\[4pt] -6 & 7 & -8 & 1 & -9\\[4pt] 3 & -2 & 5 & 1 & 7\\[4pt] 6 & -4 & -6 & 15 & 11 \end{array}\right].]

Passo 4

Eliminação na primeira coluna (zerar a_{21},a_{31},a_{41}):
  • Para R_2 usamos m_{21}=\dfrac{a_{21}}{a_{11}}=\dfrac{-6}{9}=-\dfrac{2}{3}. A operação é R_2\leftarrow R_2 - m_{21}R_1 = R_2 + \tfrac{2}{3}R_1.
    Calculando cada entrada de R_2:
    \begin{aligned} &0 = -6 + \tfrac{2}{3}\cdot 9,\\[4pt] &3 = 7 + \tfrac{2}{3}\cdot(-6),\\[4pt] &\tfrac{14}{3} = -8 + \tfrac{2}{3}\cdot 19,\\[4pt] &\tfrac{5}{3} = 1 + \tfrac{2}{3}\cdot 1,\\[4pt] &\tfrac{19}{3} = -9 + \tfrac{2}{3}\cdot 23. \end{aligned}
    Logo R_2=[0,\;3,\;14/3,\;5/3\;|\;19/3].
  • Para R_3 usamos m_{31}=\dfrac{a_{31}}{a_{11}}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}. R_3\leftarrow R_3 - \tfrac{1}{3}R_1.
    Calculando:
    \begin{aligned} &0 = 3 - \tfrac{1}{3}\cdot 9,\\[4pt] &0 = -2 - \tfrac{1}{3}\cdot(-6),\\[4pt] &-\tfrac{4}{3} = 5 - \tfrac{1}{3}\cdot 19,\\[4pt] &\tfrac{2}{3} = 1 - \tfrac{1}{3}\cdot 1,\\[4pt] &-\tfrac{2}{3} = 7 - \tfrac{1}{3}\cdot 23. \end{aligned}
    Logo R_3=[0,\;0,\;-4/3,\;2/3\;|\;-2/3].
  • Para R_4 usamos m_{41}=\dfrac{a_{41}}{a_{11}}=\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}. R_4\leftarrow R_4 - \tfrac{2}{3}R_1.
    Calculando:
    \begin{aligned} &0 = 6 - \tfrac{2}{3}\cdot 9,\\[4pt] &0 = -4 - \tfrac{2}{3}\cdot(-6),\\[4pt] &-\tfrac{56}{3} = -6 - \tfrac{2}{3}\cdot 19,\\[4pt] &\tfrac{43}{3} = 15 - \tfrac{2}{3}\cdot 1,\\[4pt] &-\tfrac{13}{3} = 11 - \tfrac{2}{3}\cdot 23. \end{aligned}
    Logo R_4=[0,\;0,\;-56/3,\;43/3\;|\;-13/3].
Após essas operações, a matriz fica
\left[\begin{array}{cccc|c} 9 & -6 & 19 & 1 & 23\\[4pt] 0 & 3 & 14/3 & 5/3 & 19/3\\[4pt] 0 & 0 & -4/3 & 2/3 & -2/3\\[4pt] 0 & 0 & -56/3 & 43/3 & -13/3 \end{array}\right].]

Passo 5

Segunda coluna: entre as linhas 2 a 4, os valores na coluna 2 são 3,0,0. O maior em módulo é 3 (já em R_2), então não precisamos trocar linhas. O pivô da segunda etapa é a_{22}=3. As entradas abaixo já são zero, então não há novas eliminações nesta coluna.

Passo 6

Terceira coluna: para escolher o pivô entre as linhas 3 e 4 olhamos os valores |-4/3| e |-56/3|. O maior em módulo é |-56/3| (linha 4), então fazemos permuta R_3\leftrightarrow R_4. Após a troca:
\left[\begin{array}{cccc|c} 9 & -6 & 19 & 1 & 23\\[4pt] 0 & 3 & 14/3 & 5/3 & 19/3\\[4pt] 0 & 0 & -56/3 & 43/3 & -13/3\\[4pt] 0 & 0 & -4/3 & 2/3 & -2/3 \end{array}\right].
Agora o pivô é a_{33}=-56/3.]

Passo 7

Eliminamos o elemento abaixo do pivô (entradas na posição (4,3)):
Multiplicador para zerar a_{43}:
m_{43}=\dfrac{a_{43}}{a_{33}}=\dfrac{-4/3}{-56/3}=\dfrac{4/3}{56/3}=\dfrac{4}{56}=\dfrac{1}{14}.
Aplicamos R_4\leftarrow R_4 - m_{43}R_3. Calculando as entradas de R_4:
\begin{aligned} &0 \text{ (já zero na coluna 1 e 2)},\\[4pt] &0,\\[4pt] &0 = -\tfrac{4}{3} - \tfrac{1}{14}\cdot\big(-\tfrac{56}{3}\big),\\[4pt] &-\tfrac{5}{14} = \tfrac{2}{3} - \tfrac{1}{14}\cdot\big(\tfrac{43}{3}\big),\\[4pt] &-\tfrac{5}{14} = -\tfrac{2}{3} - \tfrac{1}{14}\cdot\big(-\tfrac{13}{3}\big). \end{aligned}á
(Observe que o cálculo do segundo membro dá o mesmo valor -5/14 como resultado, como deve ocorrer para consistência.)
Após essa eliminação, a matriz triangular superior é
\left[\begin{array}{cccc|c} 9 & -6 & 19 & 1 & 23\\[4pt] 0 & 3 & 14/3 & 5/3 & 19/3\\[4pt] 0 & 0 & -56/3 & 43/3 & -13/3\\[4pt] 0 & 0 & 0 & -5/14 & -5/14 \end{array}\right].]

Passo 8

Agora a matriz está triangular superior. Vamos fazer substituição regressiva (back substitution). A última equação (linha 4) dá diretamente x_{4}. Explico: numa matriz triangular superior cada linha k tem a forma
a_{kk}x_k + a_{k,k+1}x_{k+1} + \cdots + a_{kn}x_n = b_k,
e resolvemos de baixo para cima.
Da linha 4: -\dfrac{5}{14}x_{4} = -\dfrac{5}{14}. Dividindo ambos os lados por -\dfrac{5}{14} obtemos
x_{4} = 1.

Passo 9

Agora substituímos x_{4}=1 na linha 3 para encontrar x_{3}. A linha 3 é
-\dfrac{56}{3}x_{3} + \dfrac{43}{3}x_{4} = -\dfrac{13}{3}.
Multiplicamos a equação por 3 para remover denominadores:
-56x_{3} + 43x_{4} = -13.
Substituindo x_{4}=1:
-56x_{3} + 43 = -13 \quad\Rightarrow\quad -56x_{3} = -56 \quad\Rightarrow\quad x_{3}=1.

Passo 10

Agora substituímos x_{3}=1 e x_{4}=1 na linha 2 para obter x_{2}. A linha 2 (multiplicando por 3 para evitar frações) é
9x_{2} + 14x_{3} + 5x_{4} = 19.
Substituindo x_{3}=1, x_{4}=1:
9x_{2} + 14 + 5 = 19 \quad\Rightarrow\quad 9x_{2} + 19 = 19 \quad\Rightarrow\quad 9x_{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad x_{2}=0.

Passo 11

Finalmente, substituímos x_{1} usando a primeira linha. Linha 1 é
9x_{1} - 6x_{2} + 19x_{3} + x_{4} = 23.
Substituindo x_{2}=0,\; x_{3}=1,\; x_{4}=1:
9x_{1} + 19 + 1 = 23 \quad\Rightarrow\quad 9x_{1} + 20 = 23 \quad\Rightarrow\quad 9x_{1} = 3 \quad\Rightarrow\quad x_{1} = \tfrac{1}{3}.

Passo 12

Resumo final (já obtido pelos passos anteriores):
x_{1}=\tfrac{1}{3},\qquad x_{2}=0,\qquad x_{3}=1,\qquad x_{4}=1.

Resposta

x_{1}=\dfrac{1}{3}
x_{2}=0
x_{3}=1
x_{4}=1

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