Calcule a derivada segunda
n) y=2^x^2+3^2 x

Passo 1

O enunciado pede a segunda derivada de y = 2^x^2 + 3^2x. O conteúdo envolve derivada de função exponencial com expoente variável, e vamos precisar usar a regra da cadeia e a fórmula geral: para y = a^u(x), y' = a^u(x) ln(a) cdot u'(x).

Passo 2

Vamos primeiro achar y'. Para 2^x^2 temos u(x)=x^2, logo u'(x)=2x e
ddxl(2^x^2r)=2^x^2ln(2)cdot2x=2xln(2),2^x^2
Para 3^2x temos v(x)=2x, logo v'(x)=2 e
ddxl(3^2xr)=3^2xln(3)cdot2=2ln(3),3^2x

Passo 3

Somando as duas derivadas, obtemos
y'=2xln(2),2^x^2+2ln(3),3^2x

Passo 4

Agora vamos derivar y' para achar y''. Separamos em dois termos:
  1. T1=2xln(2),2^x^2. Usando produto f=x e g=2^x^2,
T1'=2ln(2)l(1cdot2^x^2+xcdot2^x^2ln(2)cdot2xr) =2ln(2),2^x^2l(1+2x^2ln(2)r)

Passo 5

  1. T2=2ln(3),3^2x. Derivando,
T2'=2ln(3)l(3^2xln(3)cdot2r)=4(ln(3))^2,3^2x

Passo 6

Somando T1' e T2' chega-se à segunda derivada.

Resposta

y''=2^x^2l(2ln(2)+4x^2(ln(2))^2r)+4(ln(3))^2,3^2x.

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