(1) Determinar e esboçar o dominio da função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar e desenhar o domínio da função dada:
Aqui, estamos trabalhando com funções multivariadas e precisamos descobrir para quais valores de
e
essa função está definida. Para isso, vamos precisar entender algumas coisas básicas sobre raízes quadradas, logaritmos e frações.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a primeira parte da função:
Para que essa fração esteja bem definida, tanto o numerador quanto o denominador precisam ser números reais e o denominador não pode ser zero.
Passo 3
Vamos começar com o numerador:
A raíz quadrada está definida apenas quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero:
Então,
deve estar entre -4 e 4.
Passo 4
Agora, o denominador:
Aqui, também temos uma raiz quadrada, então:
Além disso, o denominador não pode ser zero, então
deve ser estritamente maior que zero.
Passo 5
Vamos para a segunda parte da função:
Para essa fração, precisamos que:
- O argumento do logaritmo seja positivo:
- O denominador não pode ser zero:
Isso implica que:
Passo 6
Agora, vamos juntar todas essas condições para encontrar o domínio:
Passo 7
Resumindo, o domínio da função
é o conjunto de todos os pares
que satisfazem todas essas quatro condições ao mesmo tempo.
Resposta
O domínio da função
consiste em todos os pontos
tais que:
Esse conjunto pode ser representado graficamente como a região no plano
onde essas condições são atendidas, excluindo as linhas
e
.