(1) Determinar e esboçar o dominio da função:
f(x, y)=raiz16-y^2raiz4-x^2+ln (y^2+x^2-1)y^2-4 x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar e desenhar o domínio da função dada:
f(x, y) = raiz16 - y^2raiz4 - x^2 + ln (y^2 + x^2 - 1)y^2 - 4x^2
Aqui, estamos trabalhando com funções multivariadas e precisamos descobrir para quais valores de x e y essa função está definida. Para isso, vamos precisar entender algumas coisas básicas sobre raízes quadradas, logaritmos e frações.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira parte da função:
raiz16 - y^2raiz4 - x^2
Para que essa fração esteja bem definida, tanto o numerador quanto o denominador precisam ser números reais e o denominador não pode ser zero.

Passo 3

Vamos começar com o numerador:
raiz16 - y^2
A raíz quadrada está definida apenas quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero:
16 - y^2 >= 0 Rightarrow y^2 <= 16 Rightarrow -4 <= y <= 4
Então, y deve estar entre -4 e 4.

Passo 4

Agora, o denominador:
raiz4 - x^2
Aqui, também temos uma raiz quadrada, então:
4 - x^2 > 0 Rightarrow x^2 < 4 Rightarrow -2 < x < 2
Além disso, o denominador não pode ser zero, então 4 - x^2 deve ser estritamente maior que zero.

Passo 5

Vamos para a segunda parte da função:
ln (y^2 + x^2 - 1)y^2 - 4x^2
Para essa fração, precisamos que:
  1. O argumento do logaritmo seja positivo:
y^2 + x^2 - 1 > 0 Rightarrow y^2 + x^2 > 1
  1. O denominador não pode ser zero:
y^2 - 4x^2 neq 0
Isso implica que:
y^2 neq 4x^2 Rightarrow y neq pm 2x

Passo 6

Agora, vamos juntar todas essas condições para encontrar o domínio:
  1. -4 <= y <= 4
  2. -2 < x < 2
  3. y^2 + x^2 > 1
  4. y neq pm 2x

Passo 7

Resumindo, o domínio da função f(x, y) é o conjunto de todos os pares (x, y) que satisfazem todas essas quatro condições ao mesmo tempo.

Resposta

O domínio da função f(x, y) consiste em todos os pontos (x, y) tais que:
-4 <= y <= 4, -2 < x < 2, y^2 + x^2 > 1, e y neq pm 2x
Esse conjunto pode ser representado graficamente como a região no plano xy onde essas condições são atendidas, excluindo as linhas y = 2x e y = -2x.

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