(2) Determinar o limite, se existir, ou mostrar que o limite não existe:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa determinar o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso está relacionado com o estudo de limites em várias variáveis, onde a gente analisa como a função se comporta quando as variáveis
e
vão chegando mais perto de zero. Para resolver isso, vamos verificar diferentes caminhos que
pode seguir para chegar em
e ver se o limite é o mesmo em todos eles.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar o caminho onde
. Substituindo
por 0 na função, fica:
Agora, quando
se aproxima de 0,
também se aproxima de 0. Então, pelo caminho
, o limite é 0.
Passo 3
Agora, vamos analisar outro caminho, por exemplo,
. Substituindo
por
na função, temos:
Então, pelo caminho
, o limite também é 0.
Passo 4
Vamos testar um caminho diferente para ver se o limite muda. Vamos escolher
, onde
é uma constante. Substituindo na função:
Para analisar o comportamento quando
, comparamos os expoentes. Se escolhermos
, já vimos que o limite é 0. Vamos tentar
:
Quando
, isso se aproxima de
.
Passo 5
Apesar de até agora estarmos obtendo o limite igual a 0 por diferentes caminhos, para concluir que o limite existe e é 0, precisamos ter certeza de que isso acontece para qualquer caminho. Outra abordagem é usar coordenadas polares, onde
e
, e
.
Substituindo na função:
Simplificando, podemos fatorar
no numerador e
no denominador:
Como
quando
, todo o termo tende a 0, independentemente do valor de
.
Resposta
O limite existe e é igual a
.