(2) Determinar o limite, se existir, ou mostrar que o limite não existe:
lim (x, y) (0,0) x^4 y^2-y^6x^2 y^2+y^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa determinar o limite da função x^4 y^2-y^6x^2 y^2+y^4 quando (x, y) se aproxima de (0,0). Isso está relacionado com o estudo de limites em várias variáveis, onde a gente analisa como a função se comporta quando as variáveis x e y vão chegando mais perto de zero. Para resolver isso, vamos verificar diferentes caminhos que (x, y) pode seguir para chegar em (0,0) e ver se o limite é o mesmo em todos eles.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o caminho onde x = 0. Substituindo x por 0 na função, fica:
0^4 y^2-y^60^2 y^2+y^4 = 0 - y^60 + y^4 = -y^6y^4 = -y^2
Agora, quando y se aproxima de 0, -y^2 também se aproxima de 0. Então, pelo caminho x = 0, o limite é 0.

Passo 3

Agora, vamos analisar outro caminho, por exemplo, y = x. Substituindo y por x na função, temos:
x^4 x^2-x^6x^2 x^2+x^4 = x^6 - x^6x^4 + x^4 = 02x^4 = 0
Então, pelo caminho y = x, o limite também é 0.

Passo 4

Vamos testar um caminho diferente para ver se o limite muda. Vamos escolher y = x^k, onde k é uma constante. Substituindo na função:
x^4 (x^k)^2 - (x^k)^6x^2 (x^k)^2 + (x^k)^4 = x^4 + 2k - x^6kx^2 + 2k + x^4k
Para analisar o comportamento quando x to 0, comparamos os expoentes. Se escolhermos k = 1, já vimos que o limite é 0. Vamos tentar k = 12:
x^4 + 2(12) - x^6(12)x^2 + 2(12) + x^4(12) = x^5 - x^3x^3 + x^2 = x^3(x^2 - 1)x^2(x + 1) = x(x^2 - 1)x + 1
Quando x to 0, isso se aproxima de 0 - 00 + 1 = 0.

Passo 5

Apesar de até agora estarmos obtendo o limite igual a 0 por diferentes caminhos, para concluir que o limite existe e é 0, precisamos ter certeza de que isso acontece para qualquer caminho. Outra abordagem é usar coordenadas polares, onde x = r cos theta e y = r sin theta, e r to 0.
Substituindo na função:
(r cos theta)^4 (r sin theta)^2 - (r sin theta)^6(r cos theta)^2 (r sin theta)^2 + (r sin theta)^4 = r^6 cos^4 theta sin^2 theta - r^6 sin^6 thetar^4 cos^2 theta sin^2 theta + r^4 sin^4 theta
Simplificando, podemos fatorar r^6 no numerador e r^4 no denominador:
r^6 (cos^4 theta sin^2 theta - sin^6 theta)r^4 (cos^2 theta sin^2 theta + sin^4 theta) = r^2 cos^4 theta sin^2 theta - sin^6 thetacos^2 theta sin^2 theta + sin^4 theta
Como r^2 to 0 quando r to 0, todo o termo tende a 0, independentemente do valor de theta.

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

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