Nos exercícios de 2 a 20, calcule a integral de linha ao longo de C .
integralC(x-y) d s, onde C é o triângulo de vértices (1, 32),(2,1),(2,2) no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha de uma função escalar ao longo de um circuito fechado C, dado por
integralC(x - y),ds
onde C é o triângulo com vértices A=(1,tfrac32), B=(2,1) e C=(2,2), percorrido no sentido anti-horário.
Para resolver, vamos parametrizar cada segmento reto, calcular ds e a função sob o parâmetro, e depois somar as três contribuições.

Passo 2

Parametrizamos o segmento AB por tin[0,1]:
x(t)=1+t, y(t)=tfrac32 - tfrac12,t
Como tfracdxdt=1 e tfracdydt=-tfrac12, temos
ds = raiz1^2 + l(-tfrac12r)^2,dt = raiztfrac54,dt = raiz52,dt
Também
x(t)-y(t) = l(1+tr) - l(tfrac32 - tfrac12 tr) = -tfrac12 + tfrac32,t
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integralAB(x-y),ds = integral0^1l(-tfrac12 + tfrac32,tr)raiz52,dt = raiz52![-tfrac12,t + tfrac32cdottfract^22]0^1 = raiz52l(-tfrac12 + tfrac34r) = raiz58

Passo 3

Parametrizamos o segmento BC por tin[0,1]:
x(t)=2, y(t)=1+t, ds = raiz0^2+1^2,dt = dt
Aqui
x(t)-y(t) = 2 - (1+t) = 1 - t,
então
integralBC(x-y),ds = integral0^1(1 - t),dt = l[t - tfract^22r]0^1 = 1 - tfrac12 = tfrac12

Passo 4

Parametrizamos o segmento CA por tin[0,1]:
x(t)=2 - t, y(t)=2 - tfrac12,t,
de modo que tfracdxdt=-1, tfracdydt=-tfrac12 e
ds = raiz(-1)^2 + l(-tfrac12r)^2,dt = raiz52,dt
Temos
x(t)-y(t) = (2 - t) - l(2 - tfrac12 tr) = -tfrac12,t,
portanto
integralCA(x-y),ds = integral0^1l(-tfrac12,tr)raiz52,dt = -raiz54integral0^1t,dt = -raiz54cdottfrac12 = -raiz58

Passo 5

Somando as três partes:
integralC(x-y),ds = raiz58 + tfrac12 - raiz58 = tfrac12

Resposta

tfrac12

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