(3) Dada a função f(x, y)=y^2x+13, o ponto P=(1,2) e o vetor v=(3,4), determinar:
a) o gradiente de f no ponto P
b) a taxa de variação de f em P na direção do vetor v
c) a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto P.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função f(x, y) = y^2x + 13 , o ponto P = (1, 2) e o vetor v = (3, 4) . O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo vetorial, especificamente o gradiente, taxa de variação direcional e plano tangente. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais, o gradiente da função, e como aplicar esses conceitos para encontrar a taxa de variação e a equação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função f no ponto P . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja, se f(x, y) é uma função de duas variáveis, o gradiente nabla f será:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y )
Vamos calcular as derivadas parciais de f(x, y) = y^2x + 13 .

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a x :
partial fpartial x = partialpartial x ( y^2x + 13 ) = -y^2x^2
Agora, a derivada parcial em relação a y :
partial fpartial y = partialpartial y ( y^2x + 13 ) = 2yx

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, podemos escrever o gradiente:
nabla f = ( -y^2x^2, 2yx )
Vamos avaliar isso no ponto P = (1, 2) :
nabla f(1, 2) = ( -2^21^2, 2 times 21 ) = (-4, 4)

Passo 5

Agora, vamos para a parte b: encontrar a taxa de variação de f no ponto P na direção do vetor v = (3, 4) . A taxa de variação direcional é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor direção normalizado.
Primeiro, vamos normalizar o vetor v :
|v| = raiz3^2 + 4^2 = 5
Então, o vetor unitário na direção de v é:
u = ( 35, 45 )

Passo 6

Agora, calculamos o produto escalar do gradiente no ponto P com o vetor unitário:
Du f = nabla f(P) cdot u = (-4, 4) cdot ( 35, 45 ) = (-4) times 35 + 4 times 45 = -125 + 165 = 45

Passo 7

Por fim, vamos para a parte c: encontrar a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto P . A equação do plano tangente a uma função z = f(x, y) no ponto (x0, y0, z0) é dada por:
z = f(x0, y0) + partial fpartial x(x0, y0)(x - x0) + partial fpartial y(x0, y0)(y - y0)
Primeiro, vamos calcular f(1, 2) :
f(1, 2) = 2^21 + 13 = 4 + 13 = 17
Usando as derivadas parciais que já calculamos:
partial fpartial x(1, 2) = -4 e partial fpartial y(1, 2) = 4
Então, a equação do plano tangente é:
z = 17 + (-4)(x - 1) + 4(y - 2) = 17 - 4x + 4 + 4y - 8 = -4x + 4y + 13

Resposta

a) O gradiente de f no ponto P é nabla f(1, 2) = (-4, 4) .
b) A taxa de variação de f em P na direção de v é 45 .
c) A equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto P é z = -4x + 4y + 13 .

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