(3) Dada a função
, o ponto
e o vetor
, determinar:
a) o gradiente de
no ponto
b) a taxa de variação de
em
na direção do vetor
c) a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
a) o gradiente de
b) a taxa de variação de
c) a equação do plano tangente ao gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
, o ponto
e o vetor
. O conteúdo que vamos usar aqui é o cálculo vetorial, especificamente o gradiente, taxa de variação direcional e plano tangente. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais, o gradiente da função, e como aplicar esses conceitos para encontrar a taxa de variação e a equação do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função
no ponto
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a cada variável. Ou seja, se
é uma função de duas variáveis, o gradiente
será:
Vamos calcular as derivadas parciais de
.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, podemos escrever o gradiente:
Vamos avaliar isso no ponto
:
Passo 5
Agora, vamos para a parte b: encontrar a taxa de variação de
no ponto
na direção do vetor
. A taxa de variação direcional é dada pelo produto escalar do gradiente com o vetor direção normalizado.
Primeiro, vamos normalizar o vetor
:
Então, o vetor unitário na direção de
é:
Passo 6
Agora, calculamos o produto escalar do gradiente no ponto
com o vetor unitário:
Passo 7
Por fim, vamos para a parte c: encontrar a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
. A equação do plano tangente a uma função
no ponto
é dada por:
Primeiro, vamos calcular
:
Usando as derivadas parciais que já calculamos:
Então, a equação do plano tangente é:
Resposta
a) O gradiente de
no ponto
é
.
b) A taxa de variação de em
na direção de
é
.
c) A equação do plano tangente ao gráfico de no ponto
é
.
b) A taxa de variação de
c) A equação do plano tangente ao gráfico de