1. Determinar qual a escala de uma carta sabendo-se que distâncias homólogas na carta e no terreno são, respectivamente, 225 mm e 4,5 \mathrm{~km}.

Passo 1

O enunciado pede que determinemos a escala de uma carta (mapa) sabendo que as distâncias homólogas na carta e no terreno são, respectivamente, 225\\ \mathrm{mm} e 4{,}5\\ \mathrm{km}.
Dados fornecidos:
\,d_{\text{carta}} = 225\\ \mathrm{mm}
\,d_{\text{terreno}} = 4{,}5\\ \mathrm{km}
Objetivo: encontrar a escala correspondente a essa relação entre as distâncias (ou seja, o número que relaciona comprimento na carta com comprimento no terreno).

Passo 2

O que é escala (de modo prático)? A escala é uma razão (fração) que relaciona uma distância medida no mapa com a distância correspondente no terreno. Em forma de fração, a definição é:
\text{escala} = \frac{d_{\text{carta}}}{d_{\text{terreno}}}
Onde:
  • d_{\text{carta}} é a distância medida na carta (no mesmo sistema de unidades que vamos usar),
  • d_{\text{terreno}} é a distância correspondente no terreno (na mesma unidade).
    Na prática usamos a “fração representativa” ou “escala numérica” 1:n, que significa que 1 unidade na carta equivale a n unidades no terreno. Para obter isso, simplificamos a fração \dfrac{d_{\text{carta}}}{d_{\text{terreno}}} até ficar com numerador 1.

Passo 3

Antes de calcular a razão, é obrigatório usar a mesma unidade para as duas distâncias. Vamos converter 4{,}5\\ \mathrm{km} para milímetros, porque a distância na carta está em milímetros.
Conversões passo a passo:
1\\ \mathrm{km} = 1000\\ \mathrm{m}
1\\ \mathrm{m} = 1000\\ \mathrm{mm}
Logo,
1\\ \mathrm{km} = 1000\times1000\\ \mathrm{mm} = 1\,000\,000\\ \mathrm{mm}.
Então
4{,}5\\ \mathrm{km} = 4{,}5 \times 1\,000\,000\\ \mathrm{mm} = 4\,500\,000\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Agora calculamos a escala como a razão entre a distância na carta e a distância no terreno, ambas em milímetros:
\text{escala} = \frac{225\\ \mathrm{mm}}{4\,500\,000\\ \mathrm{mm}}.
As unidades \mathrm{mm} cancelam, restando uma fração pura. Simplificamos essa fração dividindo numerador e denominador por 225:
\frac{225}{4\,500\,000} = \frac{225\div225}{4\,500\,000\div225} = \frac{1}{20\,000}.
Observação do cálculo: 4\,500\,000 \div 225 = 20\,000 porque 225 \times 20\,000 = 4\,500\,000.

Passo 5

Interpretando o resultado: a fração \dfrac{1}{20\,000} significa que 1 unidade na carta corresponde a 20\,000 unidades no terreno. Em notação usual de escala, escrevemos isso como 1:20\,000.
Checagem rápida: \,225\\ \mathrm{mm}\times 20\,000 = 4\,500\,000\\ \mathrm{mm} = 4{,}5\\ \mathrm{km}, que confirma que a escala está correta.

Resposta

\,1:20\,000

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