Questao 2 (modelagem, dominio e grafico) - valor: 5 pontos
Uma empresa de eventos fechou uma festa de aniversário para um grupo de 60 pessoas, o valor ficou em 250 reais por pessoa. A empresa tem um custo fixo, por festa, de 6 mil reais e um custo por pessoa de 50 reais. A empresa de eventos faz a seguinte proposta ao aniversariante: para cada pessoa adicionada, além das 60 já combinadas, seria possível reduzir 3 reais no valor do pacote por pessoa. Nessas condições, qual o número de pessoas na festa que maximizaria o lucro da empresa de eventos? Qual seria o lucro da empresa? A partir de quantas pessoas adicionadas a proposta da empresa se mostra equivocada? Justifique sua resposta.
Uma empresa de eventos fechou uma festa de aniversário para um grupo de 60 pessoas, o valor ficou em 250 reais por pessoa. A empresa tem um custo fixo, por festa, de 6 mil reais e um custo por pessoa de 50 reais. A empresa de eventos faz a seguinte proposta ao aniversariante: para cada pessoa adicionada, além das 60 já combinadas, seria possível reduzir 3 reais no valor do pacote por pessoa. Nessas condições, qual o número de pessoas na festa que maximizaria o lucro da empresa de eventos? Qual seria o lucro da empresa? A partir de quantas pessoas adicionadas a proposta da empresa se mostra equivocada? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá uma situação comercial e pede três coisas: (a) o número de pessoas que maximiza o lucro da empresa, (b) qual é esse lucro, e (c) a partir de quantas pessoas adicionadas a proposta da empresa se torna equivocada. Informações fornecidas (vou listar tudo explicitamente):
pessoas é a contratação inicial.
O preço acordado inicialmente é reais por pessoa.
Custo fixo por festa: .
Custo variável por pessoa: por pessoa.
Regra da proposta: para cada pessoa adicionada além das , o preço por pessoa diminui
reais.
A partir desses dados precisamos modelar receita, custo e lucro, e achar o máximo do lucro e o ponto em que a proposta deixa de ser vantajosa.
O preço acordado inicialmente é
Custo fixo por festa:
Custo variável por pessoa:
Regra da proposta: para cada pessoa adicionada além das
A partir desses dados precisamos modelar receita, custo e lucro, e achar o máximo do lucro e o ponto em que a proposta deixa de ser vantajosa.
Passo 2
Definição de variáveis (muito importante para modelar de forma clara):
Defino como o número de pessoas adicionadas além das
. Assim o total de pessoas na festa é
Defino
Observe que
e, por limitações práticas de preço (veremos depois), haverá um teto razoável para
. Mas por enquanto mantenho
como variável contínua não negativa para poder usar cálculo/quadrática; depois eu ajusto para inteiros se necessário.
Passo 3
Modelo do preço por pessoa com base em
:
O preço por pessoa proposto é o preço inicial diminuído de reais por cada pessoa adicionada. Logo
O preço por pessoa proposto é o preço inicial diminuído de
Explicando: para cada unidade que
cresce, o preço cai em
reais. Isso vale para todos os participantes, não apenas para os novos.
Passo 4
Modelo da receita total
:
Receita = preço por pessoa × número de pessoas. Portanto
Receita = preço por pessoa × número de pessoas. Portanto
Vou expandir para facilitar manipulações:
Comentário didático: multiplicar dois termos como
é só aplicar a distributiva — cada termo do primeiro multiplica todos do segundo — e agrupar termos semelhantes.
Passo 5
Modelo do custo total
:
Custo total = custo fixo + custo variável por pessoa × número de pessoas. Assim
Custo total = custo fixo + custo variável por pessoa × número de pessoas. Assim
Expandindo:
Interpretação: mesmo sem convidados a empresa tem
de custo; a cada pessoa acrescida soma-se
ao custo total.
Passo 6
Lucro
como função de
:
Lucro = receita − custo, então
Lucro = receita − custo, então
Simplificando:
Observação importante: isso é um polinômio quadrático em
. Coeficiente de
é negativo (
), então a parábola é côncava para baixo e tem um máximo único (ótimo global) — perfeito para modelagem de lucro máximo.
Passo 7
Como encontrar o máximo de uma quadrática (aula rápida):
Para uma função quadrática geral com
, o máximo ocorre no vértice da parábola, cuja coordenada
é
Para uma função quadrática geral
Esse resultado vem de derivada (se você já viu cálculo) ou completando o quadrado; aqui basta aplicar. No nosso caso
e
, então
Interpretação: a função lucro atinge seu máximo contínuo quando se adicionam aproximadamente
pessoas — claro que não podemos ter um terço de pessoa, veremos o ajuste inteiro no próximo passo.
Passo 8
Avaliando o lucro no vértice e nos inteiros vizinhos:
Primeiro o valor do lucro teórico no vértice (plugando em
):
Primeiro o valor do lucro teórico no vértice (plugando
Como
deve ser inteiro (número de pessoas adicionadas), verifico os dois inteiros mais próximos:
e
.
Comparando:
é o maior entre inteiros. Logo a escolha ótima inteira é
pessoas adicionadas, o que dá total de
pessoas.
Passo 9
Resultado do lucro máximo e interpretação prática:
Com adicionadas, a empresa terá
pessoas no total. O lucro correspondente é
Com
Comentário motivador: olha só, a proposta de reduzir o preço dá um pequeno ganho de lucro (de
inicial para
) se aceitarmos 3 pessoas a mais — não é um ganho gigante, mas é o máximo que a proposta permite mantendo essas condições.
Passo 10
A partir de quando a proposta se mostra equivocada? (explicação e cálculo)
Precisamos decidir o que significa “equivocada”. Uma interpretação razoável (e a que vou usar) é: a proposta é equivocada quando o lucro com as pessoas adicionais fica menor do que o lucro original sem adicionar ninguém. Ou seja: achar a partir do qual
. Primeiro calcule
(lucro sem mudanças):
Precisamos decidir o que significa “equivocada”. Uma interpretação razoável (e a que vou usar) é: a proposta é equivocada quando o lucro com as pessoas adicionais fica menor do que o lucro original sem adicionar ninguém. Ou seja: achar
Agora igualamos
para achar os pontos de mudança:
Fatorando:
Soluções:
(o ponto inicial) e
.
Como a parábola abre para baixo, para temos
e para
temos
. Em termos inteiros (pessoas inteiras), isso significa que a partir de
pessoas adicionadas o lucro passa a ser menor que o lucro inicial. Portanto a proposta deixa de ser vantajosa a partir de
pessoas adicionadas (ou seja, a partir de
pessoas no total).
Como a parábola abre para baixo, para
Passo 11
Verificações úteis e domínio do problema
- Checagem de preços negativos: o preço por pessoa é
; para não ter preço negativo precisamos de . Portanto o domínio prático é . Isso não entra em conflito com nossos resultados (pois otimizamos perto de ). - Observação sobre custo por pessoa: o preço só cairia até igualar o custo variável (
) quando , ou seja ; muito maior do que o ponto em que a proposta deixa de ser vantajosa segundo nosso critério (que foi ). Então o erro da proposta aparece bem antes de o preço ficar abaixo do custo variável.
Resposta
Número de pessoas que maximiza o lucro:
pessoas.
Lucro máximo da empresa: .
A proposta se mostra equivocada a partir de pessoas adicionadas (ou seja, a partir de
pessoas no total).
Lucro máximo da empresa:
A proposta se mostra equivocada a partir de