Questao 2 (modelagem, dominio e grafico) - valor: 5 pontos
Uma empresa de eventos fechou uma festa de aniversário para um grupo de 60 pessoas, o valor ficou em 250 reais por pessoa. A empresa tem um custo fixo, por festa, de 6 mil reais e um custo por pessoa de 50 reais. A empresa de eventos faz a seguinte proposta ao aniversariante: para cada pessoa adicionada, além das 60 já combinadas, seria possível reduzir 3 reais no valor do pacote por pessoa. Nessas condições, qual o número de pessoas na festa que maximizaria o lucro da empresa de eventos? Qual seria o lucro da empresa? A partir de quantas pessoas adicionadas a proposta da empresa se mostra equivocada? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá uma situação comercial e pede três coisas: (a) o número de pessoas que maximiza o lucro da empresa, (b) qual é esse lucro, e (c) a partir de quantas pessoas adicionadas a proposta da empresa se torna equivocada. Informações fornecidas (vou listar tudo explicitamente):
\;60 pessoas é a contratação inicial.
O preço acordado inicialmente é \;250 reais por pessoa.
Custo fixo por festa: \;\text{R\$ }6000.
Custo variável por pessoa: \;\text{R\$ }50 por pessoa.
Regra da proposta: para cada pessoa adicionada além das \;60, o preço por pessoa diminui \;3 reais.
A partir desses dados precisamos modelar receita, custo e lucro, e achar o máximo do lucro e o ponto em que a proposta deixa de ser vantajosa.

Passo 2

Definição de variáveis (muito importante para modelar de forma clara):
Defino \;x como o número de pessoas adicionadas além das \;60. Assim o total de pessoas na festa é
\;60+x.
Observe que \;x\ge 0 e, por limitações práticas de preço (veremos depois), haverá um teto razoável para \;x. Mas por enquanto mantenho \;x como variável contínua não negativa para poder usar cálculo/quadrática; depois eu ajusto para inteiros se necessário.

Passo 3

Modelo do preço por pessoa com base em \;x:
O preço por pessoa proposto é o preço inicial diminuído de \;3 reais por cada pessoa adicionada. Logo
\;p(x)=250-3x.
Explicando: para cada unidade que \;x cresce, o preço cai em \;3 reais. Isso vale para todos os participantes, não apenas para os novos.

Passo 4

Modelo da receita total \;R(x):
Receita = preço por pessoa × número de pessoas. Portanto
\;R(x)=p(x)\cdot(60+x)=(250-3x)(60+x).
Vou expandir para facilitar manipulações:
\;R(x)=250\cdot 60 + 250x -3x\cdot 60 -3x^2 =15000 +70x -3x^2.
Comentário didático: multiplicar dois termos como (250-3x)(60+x) é só aplicar a distributiva — cada termo do primeiro multiplica todos do segundo — e agrupar termos semelhantes.

Passo 5

Modelo do custo total \;C(x):
Custo total = custo fixo + custo variável por pessoa × número de pessoas. Assim
\;C(x)=6000 + 50(60+x).
Expandindo:
\;C(x)=6000 + 3000 + 50x =9000 + 50x.
Interpretação: mesmo sem convidados a empresa tem \;\text{R\$}6000 de custo; a cada pessoa acrescida soma-se \;\text{R\$ }50 ao custo total.

Passo 6

Lucro \;P(x) como função de \;x:
Lucro = receita − custo, então
\;P(x)=R(x)-C(x)=(15000 +70x -3x^2) - (9000 +50x).
Simplificando:
\;P(x) = -3x^2 + 20x + 6000.
Observação importante: isso é um polinômio quadrático em \;x. Coeficiente de \;x^2 é negativo ( -3), então a parábola é côncava para baixo e tem um máximo único (ótimo global) — perfeito para modelagem de lucro máximo.

Passo 7

Como encontrar o máximo de uma quadrática (aula rápida):
Para uma função quadrática geral \;ax^2 + bx + c com a<0, o máximo ocorre no vértice da parábola, cuja coordenada x é
\;x_v = -\frac{b}{2a}.
Esse resultado vem de derivada (se você já viu cálculo) ou completando o quadrado; aqui basta aplicar. No nosso caso a=-3 e b=20, então
\;x_v = -\frac{20}{2\cdot(-3)} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}\approx 3{,}333\ldots.
Interpretação: a função lucro atinge seu máximo contínuo quando se adicionam aproximadamente \;3{,}33 pessoas — claro que não podemos ter um terço de pessoa, veremos o ajuste inteiro no próximo passo.

Passo 8

Avaliando o lucro no vértice e nos inteiros vizinhos:
Primeiro o valor do lucro teórico no vértice (plugando \;x=\tfrac{10}{3} em \;P(x)):
\;P\Big(\tfrac{10}{3}\Big) = -3\Big(\tfrac{10}{3}\Big)^2 + 20\Big(\tfrac{10}{3}\Big) + 6000 = \frac{100}{3} + 6000 = 6000 + 33{,}333\ldots = 6033{,}333\ldots
Como \;x deve ser inteiro (número de pessoas adicionadas), verifico os dois inteiros mais próximos: \;x=3 e \;x=4.
\;P(3) = -3\cdot 9 + 20\cdot 3 + 6000 = -27 + 60 + 6000 = 6033.
\;P(4) = -3\cdot 16 + 20\cdot 4 + 6000 = -48 + 80 + 6000 = 6032.
Comparando: \;P(3)=6033 é o maior entre inteiros. Logo a escolha ótima inteira é \;x=3 pessoas adicionadas, o que dá total de \;60+3=63 pessoas.

Passo 9

Resultado do lucro máximo e interpretação prática:
Com \;x=3 adicionadas, a empresa terá \;63 pessoas no total. O lucro correspondente é
\;P(3)=\text{R\$ }6033.
Comentário motivador: olha só, a proposta de reduzir o preço dá um pequeno ganho de lucro (de \;\text{R\$}6000 inicial para \;\text{R\$ }6033) se aceitarmos 3 pessoas a mais — não é um ganho gigante, mas é o máximo que a proposta permite mantendo essas condições.

Passo 10

A partir de quando a proposta se mostra equivocada? (explicação e cálculo)
Precisamos decidir o que significa “equivocada”. Uma interpretação razoável (e a que vou usar) é: a proposta é equivocada quando o lucro com as pessoas adicionais fica menor do que o lucro original sem adicionar ninguém. Ou seja: achar x a partir do qual P(x) < P(0). Primeiro calcule P(0) (lucro sem mudanças):
\;P(0)= -3\cdot 0^2 + 20\cdot 0 + 6000 = 6000.
Agora igualamos P(x)=P(0) para achar os pontos de mudança:
\;-3x^2 + 20x + 6000 = 6000 \quad\Longrightarrow\quad -3x^2 +20x =0.
Fatorando:
\;x(-3x+20)=0.
Soluções: \;x=0 (o ponto inicial) e \;x=\tfrac{20}{3}\approx 6{,}666\ldots.
Como a parábola abre para baixo, para 0<x<\tfrac{20}{3} temos P(x)>P(0) e para x>\tfrac{20}{3} temos P(x)<P(0). Em termos inteiros (pessoas inteiras), isso significa que a partir de \;x=7 pessoas adicionadas o lucro passa a ser menor que o lucro inicial. Portanto a proposta deixa de ser vantajosa a partir de \;7 pessoas adicionadas (ou seja, a partir de \;60+7=67 pessoas no total).

Passo 11

Verificações úteis e domínio do problema
  • Checagem de preços negativos: o preço por pessoa é \;p(x)=250-3x; para não ter preço negativo precisamos de x<\tfrac{250}{3}\approx 83{,}33. Portanto o domínio prático é 0\le x\le 83. Isso não entra em conflito com nossos resultados (pois otimizamos perto de x\approx 3).
  • Observação sobre custo por pessoa: o preço só cairia até igualar o custo variável ( \;\text{R\$ }50) quando 250-3x=50, ou seja x=\tfrac{200}{3}\approx 66{,}67; muito maior do que o ponto em que a proposta deixa de ser vantajosa segundo nosso critério (que foi x\ge 7). Então o erro da proposta aparece bem antes de o preço ficar abaixo do custo variável.

Resposta

Número de pessoas que maximiza o lucro: 63 pessoas.
Lucro máximo da empresa: \text{R\$ }6033.
A proposta se mostra equivocada a partir de 7 pessoas adicionadas (ou seja, a partir de 67 pessoas no total).

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