Determinar, se existir, a função inversa de cada uma das funções a seguir:
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede a inversa de f(x)=
com domínio
. O conteúdo é função inversa: precisamos de uma função bijetora (aqui injetora no domínio dado) para depois trocar
por
e isolar.
Passo 2
Primeiro, vamos ver a monotonicidade e a imagem de
. Como
, temos
e
é estritamente decrescente de
(quando
) até 0 (quando
), garantindo injetividade. Logo a imagem é
.
Passo 3
Para achar a inversa, chamamos
e trocamos
por
e vice-versa:
Elevando ao quadrado:
Isolamos
e depois
:
Passo 4
Como a inversa deve assumir valores em
para obedecer ao domínio original de
, escolhemos o sinal negativo. Portanto a inversa é dada por f⁻¹(x)= -√(x²+4), com domínio x∈[0,+∞[.
Resposta
f⁻¹(x)= -\sqrt{x^2+4},\quad x\in[0,+\infty[