Determinar, se existir, a função inversa de cada uma das funções a seguir:
f(x)=raizx^2-4, onde .

Passo 1

O enunciado pede a inversa de f(x)= raizx^2-4 com domínio xin(-infty,-2). O conteúdo é função inversa: precisamos de uma função bijetora (aqui injetora no domínio dado) para depois trocar x por y e isolar.

Passo 2

Primeiro, vamos ver a monotonicidade e a imagem de f. Como x< -2, temos x^2>=4 e f(x)=raizx^2-4 é estritamente decrescente de +infty (quando xto-infty) até 0 (quando xto-2), garantindo injetividade. Logo a imagem é [0,+infty[.

Passo 3

Para achar a inversa, chamamos y=f(x)=raizx^2-4 e trocamos x por y e vice-versa:
x=raizy^2-4
Elevando ao quadrado:
x^2=y^2-4
Isolamos y^2 e depois y:
y^2=x^2+4
y=pmraizx^2+4

Passo 4

Como a inversa deve assumir valores em ]-infty,-2[ para obedecer ao domínio original de f, escolhemos o sinal negativo. Portanto a inversa é dada por f⁻¹(x)= -√(x²+4), com domínio x∈[0,+∞[.

Resposta

f⁻¹(x)= -\sqrt{x^2+4},\quad x\in[0,+\infty[

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