Nos Exercícios de 15 a 18, ache a derivada total d ud t por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) fazendo as substituições de x, y e z antes da diferenciação.
u=t+e^xy-e^t ; x=3 sen t ; y=ln t

Passo 1

A questão pede a derivada total du/dt de
u=t+e^xy-e^t onde x=3sin t e y=ln t. Vamos usar (a) regra da cadeia: precisamos de derivadas parciais de u em relação a t,x,y e também dx/dt, dy/dt. Em seguida (b) vamos substituir x(t) e y(t) em u e derivar diretamente.

Passo 2

Primeiro calculemos as derivadas de x e y em relação a t:
Para x=3sin t temos
dxdt=3cos t
Para y=ln t temos
dydt=1t

Passo 3

Agora vamos às derivadas parciais de u=ND com N=t+e^x e D=y-e^t, usando a regra do quociente:
partial upartial t=1cdot D-(t+e^x)(-e^t)D^2=y-e^t+(t+e^x)e^t(y-e^t)^2
partial upartial x=e^xcdot D-0D^2=e^xy-e^t
partial upartial y=0-(t+e^x)cdot1D^2=-t+e^x(y-e^t)^2

Passo 4

Pelo método (a) da regra da cadeia:
dudt=partial upartial t+partial upartial xdxdt+partial upartial ydydt
Substituindo tudo:
dudt=y-e^t+(t+e^x)e^t(y-e^t)^2+e^xy-e^tcdot3cos t-t+e^x(y-e^t)^2cdot1t

Passo 5

Pelo método (b), primeiro substituímos x=3sin t e y=ln t em u:
$$
u(t)=\frac{t+e^{3\sin t}}{\ln t-e^{t}} u(t)=t+e^3sin tln t-e^t
M’=1+e^{3\sin t}\cdot3\cos t,
\quad P’=\frac{1}{t}-e^{t}
$$
M=t+e^3sin t
Note que, ao reescrever P=ln t-e^t, M'=1+e^3sin tcdot3cos t, P'=1t-e^t e dudt=M'P-MP'P^2=(1+3e^3sin tcos t)(ln t-e^t)-(t+e^3sin t)(1t-e^t)(ln t-e^t)^2 , essa expressão coincide exatamente com a do método da cadeia.

Passo 6

Os dois métodos levam à mesma expressão para du/dt, confirmando que a derivada total foi calculada corretamente.

Resposta

[\frac{du}{dt}=\frac{y - e^{t} + (t+e{x})e{t}}{(y-e{t}){2}} + \frac{3e^{x}\cos t}{y-e^{t}} - \frac{t+e{x}}{t,(y-e{t})^{2}}]

Exercícios relacionados