Nos Exercícios de 15 a 18, ache a derivada total
por dois métodos: (a) usando a regra da cadeia; (b) fazendo as substituições de
e
antes da diferenciação.
Passo 1
A questão pede a derivada total
de
onde
e
. Vamos usar (a) regra da cadeia: precisamos de derivadas parciais de
em relação a
e também
,
. Em seguida (b) vamos substituir
e
em
e derivar diretamente.
Passo 2
Primeiro calculemos as derivadas de
e
em relação a
:
Para temos
Para
Para
temos
Passo 3
Agora vamos às derivadas parciais de
com
e
, usando a regra do quociente:
Passo 4
Pelo método (a) da regra da cadeia:
Substituindo tudo:
Passo 5
Pelo método (b), primeiro substituímos
e
em
:
$$
u(t)=\frac{t+e^{3\sin t}}{\ln t-e^{t}}
M’=1+e^{3\sin t}\cdot3\cos t,
\quad P’=\frac{1}{t}-e^{t}
\quad P’=\frac{1}{t}-e^{t}
$$
Note que, ao reescrever
,
e
, essa expressão coincide exatamente com a do método da cadeia.
Passo 6
Os dois métodos levam à mesma expressão para
, confirmando que a derivada total foi calculada corretamente.
Resposta
[\frac{du}{dt}=\frac{y - e^{t} + (t+e{x})e{t}}{(y-e{t}){2}} + \frac{3e^{x}\cos t}{y-e^{t}} - \frac{t+e{x}}{t,(y-e{t})^{2}}]