Determinar, se existir, os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 5^{+}} \sqrt{x^{2}-25}

Passo 1

O enunciado pede claramente calcular o seguinte limite unilateral pela direita:
\lim_{x\to 5^{+}} \sqrt{x^{2}-25}.
Informações relevantes dadas / observações imediatas:
  • A expressão é a raiz quadrada real \sqrt{x^{2}-25}; para que ela esteja definida em números reais é necessário x^{2}-25\ge 0.
  • A condição x^{2}-25\ge 0 equivale a x\le -5 ou x\ge 5. Portanto, valores de x próximos de 5 e à direita ( x>5) estão no domínio da função.
  • O enunciado pede o limite quando x se aproxima de 5 pela direita (ou seja, apenas x>5 próximos de 5).

Passo 2

Entender a técnica: fatorar o elemento dentro da raiz e usar propriedades de limites. Primeiro fatoramos o radicando:
x^{2}-25=(x-5)(x+5).
Explicando: essa é a fatoração da diferença de quadrados a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) com a=x e b=5.

Passo 3

Reescrever a função usando a fatoração e separar fatores que são fáceis de estudar quando x\to 5^{+}. Como x>5 perto de 5, ambos os fatores (x-5) e (x+5) são não negativos, portanto podemos escrever
\sqrt{x^{2}-25}=\sqrt{(x-5)(x+5)}=\sqrt{x-5}\,\sqrt{x+5}.
Explicando a passagem: para números não negativos vale \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}. Aqui, para x>5, temos x-5>0 e x+5>0.

Passo 4

Estudar o comportamento de cada fator quando x\to 5^{+}.
  • O fator \sqrt{x+5} é uma função contínua em x ao redor de x=5, então
\lim_{x\to 5^{+}}\sqrt{x+5}=\sqrt{5+5}=\sqrt{10}.
Explicando: continuidadede \sqrt{\cdot} em pontos positivos permite substituir o ponto na função.
  • O fator \sqrt{x-5} quando x\to 5^{+} tem argumento x-5\to 0^{+}, portanto
\lim_{x\to 5^{+}}\sqrt{x-5}=0.
Explicando: se t\to 0^{+} então \sqrt{t}\to 0.

Passo 5

Usar a propriedade do produto de limites (quando ambos existem e são finitos): o limite do produto é o produto dos limites. Assim,
\lim_{x\to 5^{+}}\sqrt{x^{2}-25} =\lim_{x\to 5^{+}}\big(\sqrt{x-5}\,\sqrt{x+5}\big) =\Big(\lim_{x\to 5^{+}}\sqrt{x-5}\Big)\Big(\lim_{x\to 5^{+}}\sqrt{x+5}\Big).
Substituindo os limites calculados no passo anterior:
\lim_{x\to 5^{+}}\sqrt{x^{2}-25}=0\cdot\sqrt{10}=0.
Interpretação intuitiva: perto de 5 pela direita, x^{2}-25 é pequeno e positivo, e a raiz quadrada desse valor tende a zero.

Resposta

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