Determinar, se existir, os limites abaixo.
Passo 1
O enunciado pede: determinar, se existir, o limite
Informações dadas e o que isso implica:
- A expressão contém
, logo ela só está definida quando , isto é, para . - O limite é tomado quando
se aproxima de pela esquerda (valores de menores que , mas próximos de ). - Precisamos decidir se esse limite existe e, em caso afirmativo, calcular o seu valor.
Passo 2
Primeiro observação sobre o domínio próximo de
:
- Como o limite é lateral pela esquerda, só precisamos considerar
em algum intervalo do tipo com . Para valores suficientemente próximos de (por exemplo ), temos positivo e positivo. - A quantidade dentro da raiz tende a zero quando
, pois . Logo quando .
Passo 3
Reescrevemos a raiz de forma útil para analisar o produto:
Assim a expressão fica
Passo 4
Agora analisamos o comportamento de cada fator quando
:
-
tende para , ou seja . -
tende para , ou seja . -
tende para , ou seja .
Pelo teorema do limite do produto (se dois limites existirem e forem finitos, o limite do produto é o produto dos limites), temos que
Substituindo os limites obtidos:
Passo 5
Se quiser uma justificativa alternativa (mais rígida) usando o teorema do confronto (squeeze): para
suficientemente próximos de
e positivos temos
e
. Assim
Como
, pelo teorema do confronto segue que
.