Determinar, se existir, os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 3^{-}} x \sqrt{9-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede: determinar, se existir, o limite
\lim_{x \rightarrow 3^{-}} x\sqrt{9-x^{2}}.
Informações dadas e o que isso implica:
  • A expressão contém \sqrt{9-x^{2}}, logo ela só está definida quando 9-x^{2}\ge 0, isto é, para |x|\le 3.
  • O limite é tomado quando x se aproxima de 3 pela esquerda (valores de x menores que 3, mas próximos de 3).
  • Precisamos decidir se esse limite existe e, em caso afirmativo, calcular o seu valor.

Passo 2

Primeiro observação sobre o domínio próximo de x=3:
  • Como o limite é lateral pela esquerda, só precisamos considerar x em algum intervalo do tipo (c,3) com c<3. Para valores suficientemente próximos de 3 (por exemplo x>0), temos x positivo e 3+x positivo.
  • A quantidade dentro da raiz tende a zero quando x\to 3, pois 9-x^{2}\to 9-9=0. Logo \sqrt{9-x^{2}}\to 0 quando x\to 3^{-}.

Passo 3

Reescrevemos a raiz de forma útil para analisar o produto:
\sqrt{9-x^{2}}=\sqrt{(3-x)(3+x)}=\sqrt{3+x}\,\sqrt{3-x}.
Assim a expressão fica
x\sqrt{9-x^{2}}=x\sqrt{3+x}\,\sqrt{3-x}.

Passo 4

Agora analisamos o comportamento de cada fator quando x\to 3^{-}:
  • x tende para 3, ou seja \displaystyle \lim_{x\to 3^{-}} x = 3.
  • \sqrt{3+x} tende para \sqrt{6}, ou seja \displaystyle \lim_{x\to 3^{-}} \sqrt{3+x}=\sqrt{6}.
  • \sqrt{3-x} tende para 0, ou seja \displaystyle \lim_{x\to 3^{-}} \sqrt{3-x}=0.
Pelo teorema do limite do produto (se dois limites existirem e forem finitos, o limite do produto é o produto dos limites), temos que
\lim_{x\to 3^{-}} x\sqrt{3+x}\,\sqrt{3-x} = \left(\lim_{x\to 3^{-}} x\right) \left(\lim_{x\to 3^{-}} \sqrt{3+x}\right) \left(\lim_{x\to 3^{-}} \sqrt{3-x}\right).
Substituindo os limites obtidos:
= 3\cdot\sqrt{6}\cdot 0 = 0.

Passo 5

Se quiser uma justificativa alternativa (mais rígida) usando o teorema do confronto (squeeze): para x suficientemente próximos de 3 e positivos temos 0\le x\le 3 e 0\le \sqrt{9-x^{2}}. Assim
0\le x\sqrt{9-x^{2}}\le 3\sqrt{9-x^{2}}.
Como \displaystyle \lim_{x\to 3^{-}} 3\sqrt{9-x^{2}}=3\cdot 0=0, pelo teorema do confronto segue que \displaystyle \lim_{x\to 3^{-}} x\sqrt{9-x^{2}}=0.

Resposta

0

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