Calcule os limites.
\lim _{h \rightarrow 0}\left(x^{2}+3 x h\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{h\to 0}\left(x^{2}+3 x h\right).
Informações dadas:
  • A expressão depende da variável de limite h.
  • A variável x aparece na expressão, mas o enunciado não diz que x varia com h. Portanto x é tratada como uma constante em relação a h.
  • Queremos o valor numérico (em função de x) que a expressão tende quando h se aproxima de 0.

Passo 2

Lembretes úteis sobre limites (explicados de forma simples):
  • Para funções f(h) e g(h) que têm limites quando h\to 0, vale a linearidade:
\lim_{h\to 0}\big(f(h)+g(h)\big)=\lim_{h\to 0}f(h)+\lim_{h\to 0}g(h).
Isto permite separar somas dentro do limite.
  • Se c é uma constante (não depende de h), então
\lim_{h\to 0} c = c \qquad\text{e}\qquad \lim_{h\to 0} c\cdot g(h) = c\cdot\lim_{h\to 0} g(h),
ou seja, pode-se “fatorar” constantes para fora do limite.
  • O limite mais simples: \lim_{h\to 0} h = 0. É a definição direta de aproximação.

Passo 3

Aplique a linearidade do limite à expressão dada:
\lim_{h\to 0}\left(x^{2}+3 x h\right) = \lim_{h\to 0} x^{2} \;+\; \lim_{h\to 0} 3 x h.
Aqui se usou que soma de limites é o limite da soma (desde que existam), e ambos os limites existirão.

Passo 4

Avalie cada limite separadamente:
  • x^{2} não depende de h, portanto é uma constante em relação a h. Assim
\lim_{h\to 0} x^{2} = x^{2}.
  • Em \lim_{h\to 0} 3 x h, os fatores 3 e x são constantes em relação a h, então podem sair do limite:
\lim_{h\to 0} 3 x h = 3 x \cdot \lim_{h\to 0} h = 3 x \cdot 0 = 0.

Passo 5

Combine os resultados:
\lim_{h\to 0}\left(x^{2}+3 x h\right) = x^{2} + 0 = x^{2}.
Observação final rápida: isso vale para qualquer número real x. Intuitivamente, quando h fica muito pequeno, o termo 3xh some e sobra apenas x^{2}.

Resposta

x^{2}

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