Determinar, se existir, os limites abaixo.
\lim _{x \rightarrow 2^{+}} \frac{1}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite unilaterally:
\lim_{x\to 2^{+}} \frac{1}{x-2}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A função em questão é \dfrac{1}{x-2}.
  • O ponto de interesse é x=2.
  • Trata-se de um limite lateral pela direita (isto é, x aproxima-se de 2 com x>2).
  • Note que em x=2 o denominador x-2 é zero, logo a função não está definida exatamente em x=2.

Passo 2

O que significa uma limite lateral que tende a +\infty?
Definição intuitiva e útil: dizemos que
\lim_{x\to a^{+}} f(x) = +\infty
se, para todo número grande M>0, existe \delta>0 tal que sempre que 0<x-a<\delta (ou seja, x está à direita de a e bem próximo), então f(x)>M. Em palavras: aproximando-se de a pela direita, os valores de f(x) ficam arbitrariamente grandes e positivos. Esse limite “existe” no sentido estendido (tendendo ao infinito) mas não é um número real finito.

Passo 3

Fazer uma mudança de variável que deixa o comportamento mais claro. Seja
h = x-2.
Ao aproximar x de 2 pela direita temos x\to 2^{+}\Rightarrow h\to 0^{+} (ou seja, h é positivo e tende a zero). Reescrevendo a função em termos de h:
\frac{1}{x-2} = \frac{1}{h}.

Passo 4

Analisar o comportamento de \dfrac{1}{h} quando h\to 0^{+}.
  • Para h>0 pequeno, \dfrac{1}{h} é positivo.
  • Mais ainda, se escolhermos qualquer número grande M>0 podemos tomar \delta = \dfrac{1}{M}. Então, sempre que 0<h<\delta (isto é, 0<h<\dfrac{1}{M}), ocorre
\frac{1}{h} > M.
Isto mostra exatamente a condição da definição do limite para ir a +\infty: aproximando-se de zero por valores positivos de h, a razão \dfrac{1}{h} fica maior que qualquer M dado. Em termos de x, isso equivale a: para qualquer M>0 existe \delta>0 tal que, se 0<x-2<\delta, então \dfrac{1}{x-2}>M.

Passo 5

Conclusão lógica do passo anterior: ao aproximar x de 2 pela direita, o denominador x-2 tende a 0^{+} e a função \dfrac{1}{x-2} cresce sem limite, permanecendo positiva. Portanto o limite lateral à direita diverge para infinito positivo. Em termos formais:
\lim_{x\to 2^{+}} \frac{1}{x-2} = +\infty.

Resposta

+\infty

Exercícios relacionados