Determinar, se existir, os limites abaixo.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite unilaterally:
Informações dadas e observações imediatas:
- A função em questão é
. - O ponto de interesse é
. - Trata-se de um limite lateral pela direita (isto é,
aproxima-se de com ). - Note que em
o denominador é zero, logo a função não está definida exatamente em .
Passo 2
O que significa uma limite lateral que tende a
?
Definição intuitiva e útil: dizemos que
Definição intuitiva e útil: dizemos que
se, para todo número grande
, existe
tal que sempre que
(ou seja,
está à direita de
e bem próximo), então
. Em palavras: aproximando-se de
pela direita, os valores de
ficam arbitrariamente grandes e positivos. Esse limite “existe” no sentido estendido (tendendo ao infinito) mas não é um número real finito.
Passo 3
Fazer uma mudança de variável que deixa o comportamento mais claro. Seja
Ao aproximar
de
pela direita temos
(ou seja,
é positivo e tende a zero). Reescrevendo a função em termos de
:
Passo 4
Analisar o comportamento de
quando
.
- Para
pequeno, é positivo. - Mais ainda, se escolhermos qualquer número grande
podemos tomar . Então, sempre que (isto é, ), ocorre
Isto mostra exatamente a condição da definição do limite para ir a
: aproximando-se de zero por valores positivos de
, a razão
fica maior que qualquer
dado. Em termos de
, isso equivale a: para qualquer
existe
tal que, se
, então
.
Passo 5
Conclusão lógica do passo anterior: ao aproximar
de
pela direita, o denominador
tende a
e a função
cresce sem limite, permanecendo positiva. Portanto o limite lateral à direita diverge para infinito positivo. Em termos formais: