Determinar, se existir, o plano tangente ao gráfico da funções dadas, nos pontos indicados:
a)
b)
e
c)
d)
e
e)
e
f)
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
Nesta questão, vamos determinar o plano tangente ao gráfico de funções z=f(x,y) nos pontos dados. O conteúdo envolvido é derivadas parciais e o conceito de plano tangente, pois precisamos de f_x, f_y e da fórmula do plano.
Passo 2
O plano tangente a z=f(x,y) no ponto (x_0,y_0,z_0) é dado por:
Passo 3
Caso a) Para f(x,y)=\sqrt{1-x2-y2} temos
Em P_1=(0,0,1) as derivadas são zero, logo o plano é z=1. Em P_2=(\tfrac12,\tfrac12,\tfrac{\sqrt2}2) calculamos f_x=f_y=-\tfrac{1}{\sqrt2}, aplicando na fórmula obtemos z-\tfrac{\sqrt2}2=-\tfrac{1}{\sqrt2}(x-\tfrac12)-\tfrac{1}{\sqrt2}(y-\tfrac12).
Passo 4
Caso b) Para f(x,y)=xy temos f_x=y e f_y=x. Em P_1=(0,0,0) ambos são 0, então z=0. Em P_2=(1,1,1) f_x=f_y=1, e o plano é z-1=1(x-1)+1(y-1), ou seja z=x+y-1.
Passo 5
Caso c) Para z=\sqrt{(x-1)2+(y-1)2} temos
Em P_1=(1,1,0) a derivada não existe (ponto de cúspide), então não há plano tangente aí. Em P_2=(1,2,1) temos f_x=0 e f_y=1, logo z-1=0(x-1)+1(y-2), ou seja z=y-1.
Passo 6
Caso d) Para z=2x2-3y2, f_x=4x e f_y=-6y. Em P_1=(0,0,0) f_x=f_y=0, então z=0. Em P_2=(1,1,-1) f_x=4 e f_y=-6, logo z+1=4(x-1)-6(y-1), ou seja z=4x-6y+1.
Passo 7
Caso e) Para z=(x2+y2)^{-1/2} temos
Em P_1=(1,1,\tfrac{\sqrt2}2) f_x=f_y=-\tfrac{1}{2\sqrt2}, dando z-\tfrac{\sqrt2}2=-\tfrac{1}{2\sqrt2}(x-1)-\tfrac{1}{2\sqrt2}(y-1). Em P_2=(0,1,1) f_x=0 e f_y=-1, logo z-1=0(x-0)-1(y-1), ou seja z=-y+2.
Passo 8
Caso f) Para z=xe^{x+y} calculamos
Em P_1=(1,1,e^2) temos f_x=2e^2 e f_y=e^2, gerando z-e2=2e2(x-1)+e^2(y-1). Em P_2=(1,0,e) f_x=2e e f_y=e, logo z-e=2e(x-1)+e(y-0).
Resposta
a) P1: z=1
P2: z-\tfrac{\sqrt2}{2}=-\tfrac{1}{\sqrt2}(x-\tfrac12)-\tfrac{1}{\sqrt2}(y-\tfrac12)
P2: z-\tfrac{\sqrt2}{2}=-\tfrac{1}{\sqrt2}(x-\tfrac12)-\tfrac{1}{\sqrt2}(y-\tfrac12)
b) P1: z=0
P2: z=x+y-1
P2: z=x+y-1
c) P1: não existe plano tangente
P2: z=y-1
P2: z=y-1
d) P1: z=0
P2: z=4x-6y+1
P2: z=4x-6y+1
e) P1: z-\tfrac{\sqrt2}{2}=-\tfrac{1}{2\sqrt2}(x-1)-\tfrac{1}{2\sqrt2}(y-1)
P2: z=-y+2
P2: z=-y+2
f) P1: z-e2=2e2(x-1)+e^2(y-1)
P2: z-e=2e(x-1)+e y
P2: z-e=2e(x-1)+e y