Determinar, se existir, o plano tangente ao gráfico da funções dadas, nos pontos indicados:
a) f(x, y)=raiz1-x^2-y^2 ; P1(0,0,1) e P2(12, 12, raiz22)
b) f(x, y)=x y ; P1(0,0,0) e P2(1,1,1)
c) z=raiz(x-1)^2+(y-1)^2 ; P1(1,1,0) e P2(1,2,1)
d) z=2 x^2-3 y^2 ; P1(0,0,0) e P2(1,1,-1)
e) z=1raizx^2+y^2 ; P1(1,1, raiz22) e P2(0,1,1)
f) z=x e^x+y ; P1(1,1, f(1,1)) e P2(1,0, f(1,0)).

Passo 1

Nesta questão, vamos determinar o plano tangente ao gráfico de funções z=f(x,y) nos pontos dados. O conteúdo envolvido é derivadas parciais e o conceito de plano tangente, pois precisamos de f_x, f_y e da fórmula do plano.

Passo 2

O plano tangente a z=f(x,y) no ponto (x_0,y_0,z_0) é dado por:
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)

Passo 3

Caso a) Para f(x,y)=\sqrt{1-x2-y2} temos
fx(x,y)=-xraiz1-x^2-y^2, fy(x,y)=-yraiz1-x^2-y^2
Em P_1=(0,0,1) as derivadas são zero, logo o plano é z=1. Em P_2=(\tfrac12,\tfrac12,\tfrac{\sqrt2}2) calculamos f_x=f_y=-\tfrac{1}{\sqrt2}, aplicando na fórmula obtemos z-\tfrac{\sqrt2}2=-\tfrac{1}{\sqrt2}(x-\tfrac12)-\tfrac{1}{\sqrt2}(y-\tfrac12).

Passo 4

Caso b) Para f(x,y)=xy temos f_x=y e f_y=x. Em P_1=(0,0,0) ambos são 0, então z=0. Em P_2=(1,1,1) f_x=f_y=1, e o plano é z-1=1(x-1)+1(y-1), ou seja z=x+y-1.

Passo 5

Caso c) Para z=\sqrt{(x-1)2+(y-1)2} temos
fx=x-1raiz(x-1)^2+(y-1)^2, fy=y-1raiz(x-1)^2+(y-1)^2
Em P_1=(1,1,0) a derivada não existe (ponto de cúspide), então não há plano tangente aí. Em P_2=(1,2,1) temos f_x=0 e f_y=1, logo z-1=0(x-1)+1(y-2), ou seja z=y-1.

Passo 6

Caso d) Para z=2x2-3y2, f_x=4x e f_y=-6y. Em P_1=(0,0,0) f_x=f_y=0, então z=0. Em P_2=(1,1,-1) f_x=4 e f_y=-6, logo z+1=4(x-1)-6(y-1), ou seja z=4x-6y+1.

Passo 7

Caso e) Para z=(x2+y2)^{-1/2} temos
Em P_1=(1,1,\tfrac{\sqrt2}2) f_x=f_y=-\tfrac{1}{2\sqrt2}, dando z-\tfrac{\sqrt2}2=-\tfrac{1}{2\sqrt2}(x-1)-\tfrac{1}{2\sqrt2}(y-1). Em P_2=(0,1,1) f_x=0 e f_y=-1, logo z-1=0(x-0)-1(y-1), ou seja z=-y+2.

Passo 8

Caso f) Para z=xe^{x+y} calculamos
fx=(1+x)e^x+y, fy=xe^x+y
Em P_1=(1,1,e^2) temos f_x=2e^2 e f_y=e^2, gerando z-e2=2e2(x-1)+e^2(y-1). Em P_2=(1,0,e) f_x=2e e f_y=e, logo z-e=2e(x-1)+e(y-0).

Resposta

a) P1: z=1
P2: z-\tfrac{\sqrt2}{2}=-\tfrac{1}{\sqrt2}(x-\tfrac12)-\tfrac{1}{\sqrt2}(y-\tfrac12)
b) P1: z=0
P2: z=x+y-1
c) P1: não existe plano tangente
P2: z=y-1
d) P1: z=0
P2: z=4x-6y+1
e) P1: z-\tfrac{\sqrt2}{2}=-\tfrac{1}{2\sqrt2}(x-1)-\tfrac{1}{2\sqrt2}(y-1)
P2: z=-y+2
f) P1: z-e2=2e2(x-1)+e^2(y-1)
P2: z-e=2e(x-1)+e y

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