Esboce o gráfico de uma função que satisfaça todas as condições dadas:
f^prime(5)=0, f^prime(x)<0 quando x<5
f^prime(x)>0 se x>5, f^prime prime(2)=0, f^prime prime(8)=0
f^prime prime(x)<0 quando x<2 ou x>8
f^prime prime(x)>0 para 2

Passo 1

Beleza, então a gente tem que desenhar o gráfico de uma função que atende várias condições envolvendo a primeira e a segunda derivadas, além de limites quando $ x $ vai pra mais ou menos infinito. Vamos precisar entender o que a primeira derivada $ f’(x) $ e a segunda derivada $ f’’(x) $ dizem sobre o comportamento da função. A primeira derivada nos fala se a função está aumentando ou diminuindo, e a segunda derivada nos diz se a função está “curvada” pra cima ou pra baixo, ou seja, sobre a concavidade.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a primeira derivada. Sabemos que $ f’(5) = 0 $. Isso significa que em $ x = 5 $ temos uma possível extremidade, tipo um ponto onde a função pode ter um máximo ou mínimo.

Passo 3

Sabemos que $ f’(x) < 0 $ quando $ x < 5 $. Isso quer dizer que, antes de $ x = 5 $, a função está diminuindo. Em outras palavras, conforme $ x $ aumenta até 5, $ f(x) $ está descendo.

Passo 4

Depois, $ f’(x) > 0 $ quando $ x > 5 $. Isso indica que, depois de $ x = 5 $, a função começa a aumentar. Assim, $ x = 5 $ é um ponto de mínimo, porque a função muda de decrescente para crescente.

Passo 5

Agora, vamos para a segunda derivada. Temos que $ f’’(2) = 0 $ e $ f’’(8) = 0 $. Esses são pontos de possível inflexão, onde a concavidade da função pode mudar.

Passo 6

Analisando a concavidade, sabemos que $ f’’(x) < 0 $ quando $ x < 2 $ ou $ x > 8 $. Isso quer dizer que, fora do intervalo entre 2 e 8, a função é côncava para baixo.

Passo 7

Quando $ 2 < x < 8 $, $ f’’(x) > 0 $, então dentro desse intervalo, a função é côncava para cima. Isso significa que a curva está “sorrindo” nesse trecho.

Passo 8

Agora, olhando para os limites, temos que $ \lim_{x \rightarrow +\infty} f(x) = 3 $ e $ \lim_{x \rightarrow -\infty} f(x) = 3 $. Isso indica que a função se aproxima de uma linha horizontal $ y = 3 $ quando $ x $ vai para positivo ou negativo infinito.

Passo 9

Com todas essas informações, podemos começar a esboçar o gráfico:
  • Em $ x = 5 $, temos um mínimo local.
  • Nos intervalos $ x < 2 $ e $ x > 8 $, a função é côncava para baixo.
  • Entre $ 2 < x < 8 $, é côncava para cima.
  • A função se aproxima de $ y = 3 $ nas extremidades.

Resposta

O gráfico da função tem um mínimo local em $ x = 5 $, é côncavo para baixo nos intervalos $ x < 2 $ e $ x > 8 $, e côncavo para cima entre $ 2 < x < 8 $. Além disso, a função se aproxima da linha horizontal $ y = 3 $ quando $ x $ vai para mais ou menos infinito. Por isso, o esboço deve mostrar a curva atingindo seu ponto mais baixo em 5, com as concavidades conforme descrito e as assíntotas horizontais em $ y = 3 $.

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