Expresse o campo vetorial overrightarrow{\mathrm{W}}=\left(\mathrm{x}^{2}-\mathrm{y}^{2}\right) \overrightarrow{\mathrm{a}}_{\mathrm{y}}+\mathrm{xz} \overrightarrow{\mathrm{a}}_{\mathrm{z}} em:
em coordenadas esféricas no ponto \mathrm{Q}\left(\mathrm{r}=4, \theta=30^{\circ}, \varphi=120^{\circ}\right).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial em coordenadas cartesianas e o ponto em coordenadas esféricas. Vou listar claramente o que está dado e o que se pede (apenas isso neste passo):
  • Campo vetorial dado:
\overrightarrow{W} = \left(x^{2}-y^{2}\right)\,\overrightarrow{a}_{y} + x z\,\overrightarrow{a}_{z}.
  • Ponto pedido (fornecido em coordenadas esféricas):
Q:\quad r=4,\quad \theta=30^\circ,\quad \varphi=120^\circ.
  • O que se pede: expressar o vetor \overrightarrow{W} em coordenadas esféricas (isto é, obter as componentes na base \{\overrightarrow{a}_r,\overrightarrow{a}_\theta,\overrightarrow{a}_\varphi\}) no ponto Q.

Passo 2

Vou apresentar as fórmulas de ligação entre coordenadas cartesianas (x,y,z) e esféricas (r,\theta,\varphi) e as expressões das versores esféricos em função dos versores cartesianos — isso é teoria necessária para fazer a conversão. Explico devagar porque cada peça será usada na conta.
Relações entre coordenadas (convenção usada: \theta é o ângulo polar medido a partir do eixo +z; \varphi é o azimute no plano xy a partir do eixo +x):
x = r\sin\theta\cos\varphi,\qquad y = r\sin\theta\sin\varphi,\qquad z = r\cos\theta.
Significado: para um ponto com raio r, projeta-se no plano xy com r\sin\theta, e aí usa-se \cos\varphi, \sin\varphi para obter x,y; a componente z vem de r\cos\theta.
Versores esféricos em função dos versores cartesianos:
\overrightarrow{a}_r = \sin\theta\cos\varphi\,\overrightarrow{a}_x + \sin\theta\sin\varphi\,\overrightarrow{a}_y + \cos\theta\,\overrightarrow{a}_z,
\overrightarrow{a}_\theta = \cos\theta\cos\varphi\,\overrightarrow{a}_x + \cos\theta\sin\varphi\,\overrightarrow{a}_y - \sin\theta\,\overrightarrow{a}_z,
\overrightarrow{a}_\varphi = -\sin\varphi\,\overrightarrow{a}_x + \cos\varphi\,\overrightarrow{a}_y.
Explicação: qualquer vetor pode ser escrito tanto na base cartesiana quanto na base esférica; as expressões acima dizem como cada versor esférico é combinação linear dos versores cartesianos. Para obter as componentes esféricas de um vetor, usamos os produtos escalares (projeções) com esses versores.
Forma prática para calcular as componentes esféricas de um vetor \overrightarrow{W}=W_x\overrightarrow{a}_x+W_y\overrightarrow{a}_y+W_z\overrightarrow{a}_z:
W_r = \overrightarrow{W}\cdot\overrightarrow{a}_r,\qquad W_\theta = \overrightarrow{W}\cdot\overrightarrow{a}_\theta,\qquad W_\varphi = \overrightarrow{W}\cdot\overrightarrow{a}_\varphi.
Ou seja, calculam-se as projeções do vetor sobre cada versor esférico.

Passo 3

Calcular as coordenadas cartesianas do ponto Q usando r=4, \theta=30^\circ, \varphi=120^\circ. Primeiro os senos e cossenos úteis:
\sin\theta=\sin 30^\circ=\tfrac{1}{2},\qquad \cos\theta=\cos 30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2},
\cos\varphi=\cos 120^\circ=-\tfrac{1}{2},\qquad \sin\varphi=\sin 120^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Agora aplica as fórmulas:
x = r\sin\theta\cos\varphi = 4\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\big(-\tfrac{1}{2}\big) = -1,
y = r\sin\theta\sin\varphi = 4\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3},
z = r\cos\theta = 4\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}.

Passo 4

Avaliar as componentes cartesianas do campo \overrightarrow{W} no ponto Q. Lembre: \overrightarrow{W}=(x^{2}-y^{2})\overrightarrow{a}_y + xz\,\overrightarrow{a}_z, logo
W_x=0,\qquad W_y = x^{2}-y^{2},\qquad W_z = x z.
Substituindo x=-1, y=\sqrt{3}, z=2\sqrt{3}:
x^{2} = (-1)^{2}=1,\qquad y^{2}=(\sqrt{3})^{2}=3,
W_y = 1-3 = -2,
W_z = x z = (-1)\cdot 2\sqrt{3} = -2\sqrt{3}.
Portanto, no ponto Q,
\overrightarrow{W} = 0\cdot\overrightarrow{a}_x + (-2)\,\overrightarrow{a}_y + (-2\sqrt{3})\,\overrightarrow{a}_z.

Passo 5

Escrever as projeções (produto escalar) que dão as componentes esféricas:
W_r = W_x(\sin\theta\cos\varphi) + W_y(\sin\theta\sin\varphi) + W_z(\cos\theta),
W_\theta = W_x(\cos\theta\cos\varphi) + W_y(\cos\theta\sin\varphi) + W_z(-\sin\theta),
W_\varphi = W_x(-\sin\varphi) + W_y(\cos\varphi) + W_z(0).
Vou calcular cada uma usando os valores numéricos encontrados no passo anterior e os senos/cossenos do passo 3.

Passo 6

Calcular W_r. Substituindo W_x=0, W_y=-2, W_z=-2\sqrt{3}, \sin\theta=\tfrac{1}{2}, \sin\varphi=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, \cos\theta=\tfrac{\sqrt{3}}{2}:
W_r = 0 + (-2)\cdot\Big(\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Big) + (-2\sqrt{3})\cdot\Big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Big).
Calcule termo a termo:
(-2)\cdot\Big(\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Big) = -2\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{4} = -\tfrac{\sqrt{3}}{2},
(-2\sqrt{3})\cdot\Big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Big) = -2\cdot\tfrac{3}{2} = -3.
Somando:
W_r = -\tfrac{\sqrt{3}}{2} - 3 = -\frac{6+\sqrt{3}}{2}.

Passo 7

Calcular W_\theta. Substituindo os mesmos valores:
W_\theta = 0 + (-2)\cdot\Big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Big) + (-2\sqrt{3})\cdot\Big(-\tfrac{1}{2}\Big).
Calcule termo a termo:
(-2)\cdot\Big(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}\Big) = -2\cdot\tfrac{3}{4} = -\tfrac{3}{2},
(-2\sqrt{3})\cdot\Big(-\tfrac{1}{2}\Big) = +\sqrt{3}.
Somando:
W_\theta = -\tfrac{3}{2} + \sqrt{3} = \frac{2\sqrt{3}-3}{2}.

Passo 8

Calcular W_\varphi. Usando W_x=0, W_y=-2, \cos\varphi=-\tfrac{1}{2}, \sin\varphi=\tfrac{\sqrt{3}}{2}:
W_\varphi = 0\cdot\big(-\tfrac{\sqrt{3}}{2}\big) + (-2)\cdot\big(-\tfrac{1}{2}\big) + (-2\sqrt{3})\cdot 0 = 1.

Resposta

\overrightarrow{W}(Q)= -\frac{6+\sqrt{3}}{2}\,\overrightarrow{a}_r \;+\; \frac{2\sqrt{3}-3}{2}\,\overrightarrow{a}_\theta \;+\; 1\cdot\overrightarrow{a}_\varphi

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