Determinar expressões adimensionais das escalas do diâmetro dos vórtices, de tempo e de velocidades sabendo que f(varepsilon ; rho ; v ; D ; t ; V).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar expressões adimensionais (isto é, sem unidades) que representem as “escalas” de diâmetro de vórtices, de tempo e de velocidade, sabendo que elas só podem depender de
  • ε: taxa de dissipação de energia (dimensão L² T⁻³)
  • ν: viscosidade cinemática (L² T⁻¹)
  • ρ: densidade (M L⁻³)
  • D: um comprimento (L)
  • t: um tempo (T)
  • V: uma velocidade (L T⁻¹)
Conteúdo: análise dimensional (Teorema de Buckingham) e, no caso de turbulência, as chamadas escalas de Kolmogorov. Vamos precisar conhecer as dimensões de ε e ν, montar combinações εᵃ νᵇ que tenham dimensão de comprimento, tempo ou velocidade, e então formar as razões adimensionais D/η, t/τ, V/u.

Passo 2

Primeiro, vamos achar as escalas de Kolmogorov – isto é, os comprimentos, tempos e velocidades característicos que só dependem de ε e ν. Chamamos:
  • η: escala de comprimento
  • τ: escala de tempo
  • u: escala de velocidade
Procuramos expoentes a e b tais que
  1. η ≡ εᵃ νᵇ tenha dimensão de comprimento [L]
  2. τ ≡ εᶜ νᵈ tenha dimensão de tempo [T]
  3. u ≡ εᵉ νᶠ tenha dimensão de velocidade [L T⁻¹]

Passo 3

Vamos fazer cada caso de um jeito sistemático, resolvendo para os expoentes:
a) Para η ∼ εᵃ νᵇ ⇒ dimensão = L
  • ε tem dimensão L² T⁻³
  • ν tem dimensão L² T⁻¹
Logo a combinação tem dimensão
L^(2a+2b) T^(–3a–b) = L¹ T⁰
Igualando expoentes:
2a + 2b = 1
–3a – b = 0
Resolvendo: da segunda equação, b = –3a. Substituindo na primeira:
2a + 2(–3a) = 1 ⇒ –4a = 1 ⇒ a = –1/4 ⇒ b = 3/4
Logo
η = ε^(–1/4) ν^(3/4) = (ν³/ε)^(1/4)
b) Para τ ∼ εᶜ νᵈ ⇒ dimensão = T
dimensão = L^(2c+2d) T^(–3c–d) = T¹
Então:
2c + 2d = 0
–3c – d = 1
Da primeira, d = –c. Na segunda: –3c – (–c) = 1 ⇒ –2c = 1 ⇒ c = –1/2 ⇒ d = 1/2
Logo
τ = ε^(–1/2) ν^(1/2) = (ν/ε)^(1/2)
c) Para u ∼ εᵉ νᶠ ⇒ dimensão = L T⁻¹
dimensão = L^(2e+2f) T^(–3e–f) = L¹ T^(–1)
Equações:
2e + 2f = 1
–3e – f = –1
Da primeira, f = ½ – e. Substituindo: –3e – (½ – e) = –1 ⇒ –2e – ½ = –1 ⇒ –2e = –½ ⇒ e = 1/4 ⇒ f = ½ – 1/4 = 1/4
Logo
u = ε^(1/4) ν^(1/4) = (ε ν)^(1/4)

Passo 4

Agora que a gente tem as três escalas de Kolmogorov:
η = (ν³/ε)^(1/4),
τ = (ν/ε)^(1/2),
u = (ε ν)^(1/4),
basta formar as razões com D, t e V pra tirar a unidade:
  • Diâmetro adimensional:
    PiD = Deta = D;gl(epsilonnu^3gr)^1/4
  • Tempo adimensional:
    Pit = ttau = t;gl(epsilonnugr)^1/2
  • Velocidade adimensional:
    PiV = Vu = V;l(epsilon,nur)^-1/4

Resposta

As expressões adimensionais das escalas são:
boxed PiD = D;l(tfracepsilonnu^3r)^1/4, Pit = t;l(tfracepsilonnur)^1/2, PiV = V;l(epsilon,nur)^-1/4

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