Determinar expressões adimensionais das escalas do diâmetro dos vórtices, de tempo e de velocidades sabendo que
.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente encontrar expressões adimensionais (isto é, sem unidades) que representem as “escalas” de diâmetro de vórtices, de tempo e de velocidade, sabendo que elas só podem depender de
- ε: taxa de dissipação de energia (dimensão L² T⁻³)
- ν: viscosidade cinemática (L² T⁻¹)
- ρ: densidade (M L⁻³)
- D: um comprimento (L)
- t: um tempo (T)
- V: uma velocidade (L T⁻¹)
Conteúdo: análise dimensional (Teorema de Buckingham) e, no caso de turbulência, as chamadas escalas de Kolmogorov. Vamos precisar conhecer as dimensões de ε e ν, montar combinações εᵃ νᵇ que tenham dimensão de comprimento, tempo ou velocidade, e então formar as razões adimensionais D/η, t/τ, V/u.
Passo 2
Primeiro, vamos achar as escalas de Kolmogorov – isto é, os comprimentos, tempos e velocidades característicos que só dependem de ε e ν. Chamamos:
- η: escala de comprimento
- τ: escala de tempo
- u: escala de velocidade
Procuramos expoentes a e b tais que
- η ≡ εᵃ νᵇ tenha dimensão de comprimento [L]
- τ ≡ εᶜ νᵈ tenha dimensão de tempo [T]
- u ≡ εᵉ νᶠ tenha dimensão de velocidade [L T⁻¹]
Passo 3
Vamos fazer cada caso de um jeito sistemático, resolvendo para os expoentes:
a) Para η ∼ εᵃ νᵇ ⇒ dimensão = L
- ε tem dimensão L² T⁻³
- ν tem dimensão L² T⁻¹
Logo a combinação tem dimensão
L^(2a+2b) T^(–3a–b) = L¹ T⁰
L^(2a+2b) T^(–3a–b) = L¹ T⁰
Igualando expoentes:
2a + 2b = 1
–3a – b = 0
2a + 2b = 1
–3a – b = 0
Resolvendo: da segunda equação, b = –3a. Substituindo na primeira:
2a + 2(–3a) = 1 ⇒ –4a = 1 ⇒ a = –1/4 ⇒ b = 3/4
2a + 2(–3a) = 1 ⇒ –4a = 1 ⇒ a = –1/4 ⇒ b = 3/4
Logo
η = ε^(–1/4) ν^(3/4) = (ν³/ε)^(1/4)
η = ε^(–1/4) ν^(3/4) = (ν³/ε)^(1/4)
b) Para τ ∼ εᶜ νᵈ ⇒ dimensão = T
dimensão = L^(2c+2d) T^(–3c–d) = T¹
dimensão = L^(2c+2d) T^(–3c–d) = T¹
Então:
2c + 2d = 0
–3c – d = 1
2c + 2d = 0
–3c – d = 1
Da primeira, d = –c. Na segunda: –3c – (–c) = 1 ⇒ –2c = 1 ⇒ c = –1/2 ⇒ d = 1/2
Logo
τ = ε^(–1/2) ν^(1/2) = (ν/ε)^(1/2)
τ = ε^(–1/2) ν^(1/2) = (ν/ε)^(1/2)
c) Para u ∼ εᵉ νᶠ ⇒ dimensão = L T⁻¹
dimensão = L^(2e+2f) T^(–3e–f) = L¹ T^(–1)
dimensão = L^(2e+2f) T^(–3e–f) = L¹ T^(–1)
Equações:
2e + 2f = 1
–3e – f = –1
2e + 2f = 1
–3e – f = –1
Da primeira, f = ½ – e. Substituindo: –3e – (½ – e) = –1 ⇒ –2e – ½ = –1 ⇒ –2e = –½ ⇒ e = 1/4 ⇒ f = ½ – 1/4 = 1/4
Logo
u = ε^(1/4) ν^(1/4) = (ε ν)^(1/4)
u = ε^(1/4) ν^(1/4) = (ε ν)^(1/4)
Passo 4
Agora que a gente tem as três escalas de Kolmogorov:
η = (ν³/ε)^(1/4),
τ = (ν/ε)^(1/2),
u = (ε ν)^(1/4),
η = (ν³/ε)^(1/4),
τ = (ν/ε)^(1/2),
u = (ε ν)^(1/4),
basta formar as razões com D, t e V pra tirar a unidade:
-
Diâmetro adimensional:
-
Tempo adimensional:
-
Velocidade adimensional:
Resposta
As expressões adimensionais das escalas são: